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1、1月大数据精选模拟卷05（新课标卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合，则（ ）ABCD【答案】C【详解】，所以.2复数（ ）A0B2CD【答案】D【详解】因为，所以，故选：D32020年初，新型冠状病毒(COVID-19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数(x)12345治愈人数(y)2173693142由表格可得y关于x的二次回归方程为，则此回归模型第2周的残
2、差(实际值与预报值之差)为（ ）A5B4C1D0【答案】C【详解】设，则，所以.令，得.故选：C4设为单位向量，且，则（ ）ABCD【答案】B【详解】因为为单位向量，且，所以，所以，解得，所以.5是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）ABCD【答案】A【详解】抛物线的准线方程为其上一点到抛物线的焦点距离为6，则解得，即抛物线的准线方程为故选：A6函数的图象大致是（ ）A B CD 【答案】A【详解】 ，所以函数是偶函数，关于轴对称，排除CD，当时，故排除B.7阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A4B8C16D32【答案】C【详解】解：第一
3、次循环：不成立，故进行第二次循环；第二次循环：不成立，故进行第三次循环；第三次循环：成立，结束循环，输出；8已知，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，所以则，的大小关系是，故选：B9直线和圆相交于A，B两点，则（ ）A2B4CD6【答案】B【详解】圆得，所以圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，.故选：B.10已知双曲线，过其右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的左焦点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【详解】由题可得轴，将代入双曲线可得，以为直径的圆的半径为，双曲线的左焦点在以为直径的圆内，即，即，两边除以可得，解得（舍去）或
4、，故双曲线离心率的取值范围是.11已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A4BCD9【答案】C【详解】因为各项均为正数的等比数列满足，可得，即解得或（舍去）， =当且仅当，即m=2,n=4时，等号成立故 的最小值等于.12已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设，则，解得，则长方体的对角线的长为，所以球的直径为，半径长为，球的表面积为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若实数满足约束条件
5、，则的最大值是_.【答案】【详解】画出可行域表示的区域，如图所示：，设，则t表示可行域内的点（x,y）与原点（0,0）连线的斜率，设A为与的交点，所以，由图象可得，当可行域内点A与原点连线的斜率最大，此时，所以的最大值为，14数列满足，且，则数列的前项和为_.【答案】【详解】已知数列满足，且，所以，因此，数列的前项和为.15若函数对任意的都有，则的值是_.【答案】4或-4.【详解】函数对任意的都有，故函数的周期为，所以.在中，令，可得：，即，.则.16已知，若对于，使得，则实数m的取值范围是_【答案】【详解】依题意，对于，使得，只需.时，故当，即时，单调递增，当，即时，单调递减.而函数，显然在
6、单调递减.故根据复合函数单调性可知，在单调递减，在上单调递增，故.对于，当时，故是单调递减的，当时，故是单调递增的，故.故依题意知，即.所以实数m的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17中内角所对的边分别为，.（1）求角； （2）若的周长为，外接圆半径为，求的面积.【详解】(1)由得，所以，即，因为，所以.由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）因为的外接圆半径为，所以，所以，由余弦定理得，所以，得，所以的面积.18为了研究某班男生身高和体重的关系，从该班男生中随机选取6名，得到他们的身高和体重的数据如下表所示：编号123456身
7、高165171167173179171体重62m64747466在收集数据时，2号男生的体重数值因字迹模糊看不清，故利用其余5位男生的数话得到身高与体重的线性回归方程为.后来得到2号男生的体重精准数值m后再次计算得到线性回归方程为.（1）求回归方程；（2）若分别按照和来预测身高为的男生的体重，得到的估计值分别为，且，求m的值；（3）指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其中指数在24到27.9之间的定义为超重.通过计算可知这6人的指数分别为：22.8，27.4，22.9，24.7，23.1，22.6，现从这6人中任选2人，求恰有1人体重为超重的概率.附：回归直线的斜率和
8、截距的最小二乘估计公式分别为：，.【详解】解：（1），所以，所以，所以.（2）根据题意，将代入方程得，所以，所以， 另一方面，6名男生的身高的平均值为，体重的平均值为，所以， ，所以， 综合即可得：，.（3）设这6人分别记为，其中表示体重超标的两人，则从这6人中任选2人，所有的可能情况为：，共15种，其中恰有1人体重为超重有：，共8种，所以恰有1人体重为超重的概率为：.19如图：在正方体中，E为的中点.（1）求证：平面；（2）若F为的中点，求证：平面平面.【详解】解：（1）连结交于O，连结.因为为正方体，底面为正方形，对角线交于O点，所以O为的中点，又因为E为的中点，在中是的中位线；又因为平面
9、，平面，所以平面.（2）证明：因为F为的中点，E为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；由（1）知平面，又因为，所以平面平面.20已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与圆相切，且与椭圆交于不同的两点，设，求的取值范围.【详解】（1）根据题意根据椭圆的定义得 ，所以.因为椭圆的左、右焦点分别为，由，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为或.当时，此时.同理当时，.所以当直线的斜率不存在时.若直线的斜率存在，设直线：，与椭圆交点 ，.因为直线和圆相切，所以 ，化简得.联立方程，消得所以 ，.因
10、此 由代入得：因为，所以.综上所述，.21已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求a的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，.【详解】（1）因为，所以，所以，解得；（2），若即，的解为，所以当时，单调递减；当时，单调递增；若即，的解为或，所以当时，单调递增；当时，单调递减；若即，恒成立，所以在上单调递增；若即，的解为或，所以当时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，若，当时，单调递减，时， 单调递增；若，当时，单调递增，时，单调递减；若，在上单调递增；若， 当时，单调递增，时，单调递减.（3）证明：由题意，因为导函数在区间上存在零点， 设零
11、点为，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故 ，设，则，设，则，单调递减，又，故在上恒成立，故单调递减，所以，故当时，.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点P是曲线与的公共点，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的极坐标方程.【详解】（1）先将平方可得，与再与相减可得故曲线的普通方程为，由，可得曲线的直角坐标方程为；（2）将曲线与的方程联立得，解得或，P的直角坐标为或；设所求圆的圆心坐标为，则其方程为，当P的坐标为时，代入圆的方程中，可得，则所求圆的直角坐标方程为：故极坐标方程为；当P的坐标为时，代入圆的方程中，可得 ，则所求圆的直角坐标方程为：故极坐标方程为.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数，记最小值为k.（1）求k的值；（2）若a，b，c为正数，且.求证：【详解】（1）当时，；当时，；当时，.所以最小值为k.（2）由题得.
