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1、- - 计算 n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多， 除非零元素较少时可利用定义计算 （按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1利用行列式定义直接计算 例计算行列式001002001000000nDnn 解 Dn中不为零的项用一般形式表示为112211!nnnnnaaaan. 该项列标排列的逆序数 t（n1 n21n）等于(1)(2)2nn， 故(1)(2)2( 1)!.nnnDn 2利用行列式的性质计算 例： 一
2、个 n 阶行列式nijDa的元素满足, ,1,2, ,ijjiaai jn 则称 Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijjiaa 知iiiiaa ，即0,1,2,iiain 故 行 列 式 Dn可 表 示 为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa ， 由 行 列 式 的 性 质AA，1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa ( 1)nnD 当 n 为奇数时，得Dn=Dn，因而得 Dn = 0
3、. - - 3化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下， 计算往往较繁。 因此， 在许多情况下， 总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例 1 计算行列式112313
4、3795204213571464410102D 解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算 23 132 143 154 1234211231112311-12-3100102020410204-1 020410010200-10-20215302153001-1200222002220022-2D 4352 352 411231112310304102041 1 211612 .001020010200010000100002600006 例2 计算 n 阶行列式1231231231231111nnnnaaaaaaaaDaaaaaaaa 解 这个行列式每一列的元素
5、，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此 n 列之和全同将第 2，3，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是- - 1 1223231223231223231122323211 12,2,111111 1111111111 1nnnnnnnnnininnnniiiiininaaaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa3110100111 .00100001nnniiiiaaa 例 3 计算 n 阶行列式abbbbabbDbbabbbba 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第 2，3，n列
6、都加到第 1 列上，行列式不变，得 (1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba11(1) 11bbbabbanbbabbba 1000(1) 000000bbbabanbabab1(1) ()nanb ab 例 4：浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2 小题（重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值： - - 12312341345121221nnnnDnnn 分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n
7、-1 个数是差 1 的，根据行列式的性质，先从第 n-1 列开始乘以1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以1 加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 解： 11(2, )(2, )1111111111121111100031111200011111000100000010000020011(1)200020000001001(1)()2iinninrrinrrnnnDnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnn nnn (1)(2)12(1)12( 1)(1)12nnn nnnn 4降阶法（按行（列）
8、展开法） 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 - - 例 1、计算 20 阶行列式20123181920212171819321161718201918321D 分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个 2阶行列式计算，需进行 20！*201 次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是 n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。 注意到此行列式的相邻
9、两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算： 解： 112020 118(1,(2, 20)19)1111111231819202111112121718193111113211617181911111201918321201111111111130222240022221( 1)22120000022100000iiiiiccrrD 182 例 2 计算 n 阶行列式00010000000000001000naaaDaa 解 将 Dn按第 1 行展开1000000000000( 1)0000000001000nnaaaaDaaaa 12( 1)( 1)nnnnaa 2nnaa. -
10、 - 例3 计算 n（n2）阶行列式0001000000001000aaDaa 解 按第一行展开，得 100000000000010000001000naaaaDaaa 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到 1112222111nnnnnnnDaaaaaa 5递（逆）推公式法 递推法是根据行列式的构造特点， 建立起与 的递推关系式， 逐步推下去， 从而求出的值。有时也可以找到与，的递推关系，最后利用 ，得到 的值。 注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 例 1 计算行列式10000000010001000nD
11、. 解：将行列式按第n列展开,有21)(nnnDDD, 112112(),(),nnnnnnnnDDDDDDDD 得 nnnnnnDDDDDD)()(1223221。 同理得 nnnDD1, .,;,) 1(11nnnnnD - - 例 2 计算ayyyxayyxxayxxxaDn 解 111)()(1010010001)(000nnnnxayDyaxaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaD 同理11)()(nnnyaxDxaD 联立解得)( ,)(yxyxxayyaxDnnn） 当yx 时, 121122112()()()2 ()()(2)
12、 ()()(1)nnnnnnnnDax Dx axaxDx axaxDnx axaxanx 例 3 计算 n 阶行列式12211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax 解 首先建立递推关系式按第一列展开，得： - - 1111112321100010000010010000000111 010000010001nnnnnnnnnnnnxxxxDxaxDaxDaxxxaaaaax ， 这里1nD与nD有相同的结构，但阶数是1n的行列式 现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得： 2212221213211221 nnnnnnnnnnnnnnnnDx xDaax
13、 Da x ax xDaa x ax Da xa xa x a， 因111Dxaxa，故111nnnnnDxa xaxa 最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的 当1n 时，显然成立设对1n阶的情形结果正确，往证对 n 阶的情形也正确由 121112111 nnnnnnnnnnnnDxDax xa xaxaaxa xaxa，、 可知，对 n 阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数 n，结论成立 例4 证明 n 阶行列式2100001210001000121000012nDn 证明 按第一列展开，得2100001000001210001210002000121000121000
14、012000012nD 其中，等号右边的第一个行列式是与nD有相同结构但阶数为1n的行列式，记作1nD；第二个行列式， 若将它按第一列展开就得到一个也与nD有相同结构但阶数为2n的行列式， 记作2nD 这样，就有递推关系式：122nnnDDD 因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的 当1n 时，12D ，结论正确当2n 时，221312D ，结论正确 设对 1kn的情形结论正确，往证kn时结论也正确 由122211nnnDDDnnn 可知，对 n 阶行列式结果也成立 根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立 - - 例 5、2003 年福州大学研究生入学
15、考试试题第二大题第 10 小题要证如下行列式等式： 00010001000001nD 11,nnnD证明：其中 （虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。 ） 分析此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式1。从行列式的左上方往右下方看，即知 Dn-1与 Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。 证明：Dn按第 1 列展开，再将展开后的第二项中 n-1 阶行列式按第一行展开有： 12nnnDDD（ ） 这是由 Dn-1 和 Dn-2表示 Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从 n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，
16、注意到上面的递推关系式是由 n-1 阶和 n-2 阶行列式表示 n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为： 11212nnnnnnDDDDDD（） 或 11212nnnnnnDDDDDD（） 现可反复用低阶代替高阶，有： 23112233422221()()(1)nnnnnnnnnnnDDDDDDDDDD （） （） （）（）= 同样有： 23112233422221()()(2)nnnnnnnnnnnDDDDDDDDDD （） （） （）（）= 因此当时 由（1） （2）式可解得：11nnnD，证毕。 6利用范德蒙行列式 根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质如：提取公因式；互换两行（列）
17、 ；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 - - 例 1 计算行列式1222211221212121122111111nnnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx 解 把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式 1222212111112111()nnijn ijnnnnxxxDxxxxxxxx 例 2 计算1n阶行列式1221111111 111221222222 22122
18、111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaabababbaababa bbDaababa bb 其中1210na aa 解 这个行列式的每一行元素的形状都是n kkiiab，k 0，1，2，n即ia按降幂排列，ib按升幂排列，且次数之和都是 n，又因0ia ，若在第 i 行（i 1，2，n）提出公因子nia，则 D可化为一个转置的范德蒙行列式，即 21111112222112122211111211111111 .1nnnjnnnniniijijij inj inijnnnnnnnbbbaaabbbbbDa aaab aa baaaaabbbaaa 例 3 计算行列式x
19、yxzyzzyxzyxD222. 解： - - )()()(222222) 1 ()3(22222) 1)()3(yzxzxyxzyzxyxzyzxyzxzyzxyyxzyzxyxzyxzyxxyzyzxzyzyyzxzxyzyxzyxDxzy 例 4 计算行列式nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD21222212222121111 解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 nnnnnnnnnnnnnnnnnyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxyP21111211222221222221211111)( = nijjiniixxxy11)()( 易 知nD等 于)(yP中1ny
20、的 系 数 的 相 反 数 , 而)(yP中1ny 的 系 数 为nijjinkkxxx11)( ,因此,nknijjiknxxxD11)( 例 5、 计算 n 阶行列式 11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111nnnnnnnnnananaaananaaDananaa 解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。 先将的第 n 行依次与第 n-1 行，n-2 行，,2 行，1 行对换，再将得到到的新的行列式的第 n行与第 n-1 行，n-2 行，,2 行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第 n-1 行对换，
21、这样，共经过（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2 次行对换后，得到 - - (1)2222211111111121( 1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n nnnnnnnnnnananaaDananaaananaa 上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得： (1)(1)2211( 1)()()( 1)()n nn nnj i nj i nDanianjij 7加边法（升阶法） 加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。
22、加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。 例 1 计算 n 阶行列式12121212nnnnnxaaaaxaaDaaaaaxa 解：1100nnnaaDD1211002,1100100niaaaxinxx第 行减第1 行 1211000000000njnjaaaaxxxx11njnjaxx 例 2 计算 n（n2）阶行列式1231111111111111111nnaaDaa，其中120na aa - - 解 先将nD添上一行一列，变成下面的1n阶行列式： 1121111011101110111nnaDaa显然，1nnDD 将1n
23、D的第一行乘以1后加到其余各行，得11211111001010100nnaDaa 因0ia ，将上面这个行列式第一列加第 i（2i ，1n）列的11ia倍，得： 111122121 211111111111100000100 000100000000011 1 1 00niinnnnnnniiiinaaaDDaaaaaaaaaaaa 8数学归纳法 当与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。 （数学归纳
24、法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了） - - 例 1 计算 n 阶行列式1221100001000001nnnnxxDxaaaaax 解：用数学归纳法. 当 n = 2 时，212211()xDx xaaaxa212xa xa 假设 n = k 时，有12121kkkkkkDxa xa xaxa 则当 n = k+1 时，把 Dk+1按第一列展开，得 11kkkDxDa1111()kkkkkx xa xaxaa12111kkkkkxa xaxa xa 由此，对任意的正整数 n，有12121nnnnnnDxa xaxaxa 例 2 计算行列式cos210001cos200000cos2100
25、01cos210001cosnD. 解：2cos,cos21DD,于是猜想 nDncos. 证明：对级数用第二数学归纳法证明. 1n时,结论成立.假设对级数小于n时，结论成立.将n级行列式按第n行展开，有 nnnnnnnDDDDnnnnnnnncos) 1cos(sin) 1sin(cos) 1cos() 1cos(cos2)2cos() 1() 1cos(cos2) 1(cos2110000cos200000cos210001cos210001cos) 1(cos21221211121. 例 3 计算行列式 - - 解： 猜测： 证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设nk 1
26、 时命题成立,考察 n=k 的情形： 故命题对一切自然数n 成立。 9拆开法 拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。 - - 例 1 计算行列式 nD 11212212nnnnaaaaaaaaa 解：nD 1212212nnnnaaaaaaaaa1222000nnnnaaaaa122000nnnaaaa11nD 1211nnaD=1211niniia 例2 计算 n（n2）阶行列式111212122212121212nnnnnnnx yx ynx yx yx ynx
27、yDx yx ynx y 解 将nD按第一列拆成两个行列式的和，即 1211112122221222212122122122nnnnnnnnnnnnx ynx yx yx ynx yx ynx yx yx ynx yDx ynx yx yx ynx y 再将上式等号右端的第一个行列式第 i 列（2i ，3，n）减去第一列的 i 倍；第二个行列式提出第一列的公因子1y，则可得到 121112111122222222221212212121212 .1212nnnnnnnnnnnnnnnnx yx yxx ynx yxxxnx yx yxx ynx yxxxnDyyyyx yx yxx ynx y
28、xxxn 当 n3 时，0nD 当2n 时，221212Dxxyy 例3 计算 n 阶行列式 nxaaaaxaaDaaxaaaax ， （0a ） 解 将第一行的元素都表成两项的和，使nD变成两个行列式的和，即 - - 000000 .nxaaaaaxaaaaaaxaaaxaaaxaaDaaxaaaxaaaxaaaaxaaaxaaax 将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得：1000 nxaaxaaxa Daaxaaaax 这里1nD是一个与nD有相同结构的1n阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得： 1022 .002000naaaaaaaaaxaaxaaaa xaaaxaxaa
29、aaaxxa 于是有 11nnnDxa Da xa （1） 另一方面，如果将nD的第一行元素用另一方式表成两项之和： 0 0 0xaaaaa仿上可得：11nnnDxa Da xa （2） 将 （1） 式两边乘以xa，（2） 式两边乘以xa， 然后相减以消去1nD， 得：2nnnxaxaD 计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算 n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。 总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，
30、多总结，才能更好地掌握行列式的计算。 5.消去法求三对角线型行列式的值 例 6 求 n 阶三对角线型行列式的值： （1） - - 的构造是：主对角线元全为 2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为 1，其余的元全为 0。 解用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元 1 全部消成 0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为 其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为 再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为 类似地做下去，直到第 n 行减去第 n 1 行的倍，则第 n 行变为 最后所得的行列式为 （2） 上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次
31、为 93） 又主对角线下方的元全为 0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。 注 3 一般的三对角线型行列式 （4） 也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。 9. 因式分解法 如果行列式D是某个变数x的多项式)(xf，可对行列式施行某些变换，求出)(xf的互不相同的一次因式，- - 设这些一次因式的乘积为)(xg，则)()(xcgxfD，再比较)(xf与)(xg的某一项的系数，求出c值. 例 8 计算行列式1321321311321xnxnxnDn. 解:注意1x时，, 0nD所以，nDx|1.同理) 1(,2nxx均为nD的因式 又ix 与)(jijx各不相同所以 nDnxxx| ) 1()2)(1( 但nD的展开式中最高次项1nx的系数为 1，所以) 1()2)(1(nxxxDn 注：此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.
