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1、3月大数据精选模拟卷01（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【详解】由得，由于在上递增，所以，所以，所以，而，所以.故选：C2设，则（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B.3意大利数学家斐波那契于年在他撰写的算盘全书中提出一个数列：，.这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列满足，则该数列的前项中，为奇数的项共有（ ）A项B项C项D项【答案】D【详解】因
2、为为奇数，为偶数，为奇数，为偶数，依此类推，为偶数.由，可得为偶数的项共有项，那么为奇数的项共有项.故选：D.4有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（ ）A120种B216种C384种D504种【答案】D【详解】因为甲的成绩是中间一名，所以只需安排其余6人位次，因为乙不排第一名，丙不排最后一名，所以由间接法可得,故选：D5已知都大于零且不等于1，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由
3、可得，所以可得或，即或等价于或所以“”是“”的充分不必要条件故选;：A6已知在区间上的最大值是，则实数的最小值是（ ）ABCD【答案】D【详解】.由于，即的值域为，即在处取得最小值，而的最小正周期为，其一半为，则，所以在上递增，且在处取得最大值，故的最小值为.故选：D7在的展开式中.常数项为（ ）ABCD【答案】B【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以故选：B8若实数满足约束条件则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【详解】作出可行域如图所示：解得把目标函数转化为：当过时，z有最小值，；当过时，z有最大值，.z的范围是.9已知，则（ ）A在上单调递增B在上单调递减C有极大值，无极小值
4、D有极小值，无极大值【答案】C【详解】由题意，当时，递增，时，递减，是函数的极大值，也是最大值，函数无极小值故选：C10如图，在正三棱柱中，点是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【详解】 (方法一)如图，延长，与的延长线交于点，平面，与平面所成的角为，又，点是的中点，即，即与平面所成角的余弦值为.(方法二)平面，与平面所成的角为.又，可得，而平面平面，与平面所成角的余弦值为.11若直线y=kx与曲线(x-)2+(|y|-1)2=1有交点，则k的取值范围是（ ）A-，B-1，1C-，D-，【答案】A【详解】时，曲线方程为，图象是圆心为，半径为的圆.时，曲线方程为，图
5、象是圆心为，半径为的圆.画出曲线的图象如下图所示，当直线与曲线相切时，或，则的取值范围是.故选：A12设函数是定义在上的奇函数，函数的导函数为，且当时，为自然对数的底数，则函数在上的零点个数为（ ）ABCD【答案】B【详解】由，得.令，因为，所以等价于.当时，在上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以也是定义在上的奇函数，从在上单调递增，又，所以在上只有个零点，从而可得在上只有个零点.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在处的切线的倾斜角为，则_.【答案】【详解】则14已知随机变量服从正态分布，若，则_【答案】【详解】由题意可知，15若抛物线上的点到其焦点的距离是点
6、到轴距离的3倍，则等于_.【答案】【详解】抛物线开口向右，准线为，将的坐标代入抛物线方程得，由于抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，根据抛物线的定义有，所以.16如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，点分别在棱上，平面平面，若，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为_.【答案】【详解】如图所示，设外接球球心为，球半径为外心为，直线与平面的交点为.在中，所以，在中，则，所以.又因为,得,所以到平面的距离等于到平面的距离，则所求截面的面积等于外接圆的面积.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设为数列的前项和，已知，对任意，都有.（1）求数列的
7、通项公式；（2）若数列的前项和为.求；若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）因为，当时，两式相减，得，即，所以当时，所以.因为，所以.（2）因为，令，所以.所以.因为在上是递减函数，所以在上是递增的，所以当时，取最小值.所以原不等式恒成立可得18如图，在三棱锥中，为线段的中点.已知，且二面角的平面角大小为.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：如图，过点A作，连接PQ.又， 易知为二面角的平面角，即，.取中点，连接，则.又，平面.又平面，.（2）由（1）知两两垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则则
8、设平面的一个法向量为，则即不妨设，则.设直线与平面所成角为.则.即直线与平面所成角的正弦值为.19某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展.若会展期间有风雨天气，则暂停该天会展.根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是：前3天均为，后2天均为(假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的).（1）求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率；（2）求这次会展活动展出的平均天数.(结果精确到0.1)【详解】（1）记“未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展”为事件，则事件表示未来一周5天展出会展，于是，所以，未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停
9、会展的概率是.（2）设随机变量表示会展展出的天数，则，1，2，3，4，5于是，由（1）知，所以，即这次会展活动展出的平均天数是1.9天.20如图，已知点分别是椭圆的左右顶点，点是椭圆与抛物线的交点，直线分别与抛物线交于两点(不同于).（1）求证：直线垂直轴；（2）设坐标原点为，分别记的面积为，当为钝角时，求的最大值.【详解】解：（1）证明：由题可得点.设，则直线，与抛物线的方程联立，消去得.由韦达定理得，所以.又直线，同理可得，所以，所以直线垂直轴.（2）因为点是椭圆与抛物线的交点，所以且.因为，所以.因为为钝角，所以，即.把代入上式，解得，易知当时，取到最大值.21已知函数f(x)=ax-a
10、x(a0且a1).（1）当a=e时，求函数f(x)的最值；（2）设g(x)是f(x)的导函数，讨论函数g(x)在区间(0，1)零点的个数.【详解】（1）当时，令得显然在单调递增，当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增，则的最小值为无最大值.（2）（i）若在(0，1)恒成立，此时在(0，1)没有零点.（ii）若所以在(0，1)单调递增.，令因为所以在单调递减，故所以；当时在(0，1)没有零点.当时，在(0，1)有且只有1个零点.综上所述：若或在(0，1)没有零点；若在(0，1)有且只有1个零点请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22
11、选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当时，求和的直角坐标方程；（2）当时，与交于A，B两点，设P的直角坐标为(0，1)，求的值.【详解】（1）由曲线的参数方程为(t为参数)，消去参数，可得，即曲线，当时，曲线C2为，可得，因为，可得，即曲线C2的直角坐标方程.（2）当时，曲线C2为，可得，又由，可得的直角坐标方程为，将的参数方程代入整理得，设对应的参数分别为，可得所以.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数满足关系式，求的最小值.【详解】（1）由题意可知恒成立，令，去绝对值可得：，由解析式可知在上单调递减；在上单调递减；在上单调递增，所以，所以实数的取值范围为； （2）由（1）可知，所以， ，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为.
