北京中考尺规作图与理论依据讲义

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1、专注一对一专注一对一郝老郝老师师 17190163888 第 1 页 共 45 页 北京中考尺规作图与理论依据讲义北京中考尺规作图与理论依据讲义 基本作图基本作图 第 2 页 共 45 页 专注一对一专注一对一郝老郝老师师 17190163888 第 3 页 共 45 页 常添结论 1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线 段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做

2、这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理： （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 第 4 页 共 45 页 （2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 5 三角形全等的判定定理： 边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） 角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） 边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“S

3、SS”）。 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 6 等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高重合。 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。 7、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定 理常用于证明同一个三角形中的边相等。 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一

4、个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 8、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 9 四边形的内角和定理：四边形的内角和等于 360。 10、四边形的外角和定理：四边形的外角和等于 360。 11 推论：多边形的内角和定理：n

5、边形的内角和等于(n - 2) 180； 专注一对一专注一对一郝老郝老师师 17190163888 第 5 页 共 45 页 12 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360。 13 多边形的对角线条数的计算公式（） 设多边形的边数为 n，则多边形的对角线条数 14、平行四边形的性质 （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。 15、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理 2：两组对边分别

6、相等的四边形是平行四边形 （4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 16、矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 17、矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等； （4）矩形是轴对称图形。 18、矩形的判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 19 菱形 1、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 20、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边

7、相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形 20、菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形 定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 21 正方形、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 22、正方形的性质 （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 第 6 页 共 45 页 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 23、正方形的判定 （1）定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形

8、叫做正方形。 （2）定理 1：对角线相等的菱形是正方形。 （3）定理 2：对角线垂直的矩形是正方形。 （4）定理 3：有一个角是直角的菱形是正方形。 24 圆的有关定理及推论： （1）弧、弦、圆心角之间的关系: 在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所 对应的其余各组量也分别对应相等. （2）垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 （3）在同

9、一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半. 直径或半圆所对的圆周角是直角；90 度的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。 （4）圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角. （5）过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.一个三角形有且只有一个外接圆. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （6）切线的性质:与圆只有一个公共点； 圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径. （7）切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. 到圆心的距离等于半径的直线是圆

10、的切线. 经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点. （8）切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等. 专注一对一专注一对一郝老郝老师师 17190163888 第 7 页 共 45 页 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 1（东城一模）已知锐角AOB，如图， （1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 MN，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2）分别以点 C，D 为圆心， CD 长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 CP，DP； （3）作射线 OP 交 CD 于点 Q 根据以上作图过程及所作图

11、形，下列结论中错误 的是（） ACPOBBCP= 2QC CAOP=BOPDCDOP 2（顺义一模）已知直线 及直线 外一点 如图， （1）在直线 l 上取一点 A，连接 PA； （2）作 PA 的垂直平分线 MN，分别交直线 l，PA 于点 B，O； （3）以 O 为圆心，OB 长为半径画弧，交直线 MN 于另一点 Q； （4）作直线 PQ 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） AOPQOABBPQAB C 1 2 APBQ D若 PQ=PA，则60APQ 3（门头沟一模）已知，如图，在菱形 ABCD 中 （1）分别以 C，D 为圆心，大于 1 2 CD长为半径作弧，两弧分别交

12、于点 E，F； （2）作直线 EF，且直线 EF 恰好经过点 A，且与边 CD 交于点 M； （3）连接 BM 根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误 的是（） AABC=60B如果 AB=2，那么 BM=4 CBC=2CMD2 ABMADM SS 第 8 页 共 45 页 4（朝阳一模）如图，直线 l1l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1，l2于 B，C 两点，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点 D（不与点 B 重合），连接 AC， AD ，BC，CD，其中 AD 交 l2于点 E若ECA40，则下列结论错误 的是（）

13、AABC =70BBAD =80 CCE =CDDCE =AE 5.（平谷一模）已知锐角AOB. 如图， （1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作弧 DE，交射线 OB 于点 F，连接 CF； （2）以点 F 为圆心，CF 长为半径作弧，交弧 DE 于点 G； （3）连接 FG，CG作射线 OG. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） ABOG=AOBB若 CG=OC 则AOB=30 COF 垂直平分 CGDCG=2FG 6（丰台一模）在O 中按如下步骤作图：. （1）作O 的直径 AD； （2）以点 D 为圆心，DO 长为半径画弧，交O 于 B，C

14、两点； （3）连接 DB，DC，AB，AC，BC. 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（） AABD=90BBAD=CBD CADBCDAC=2CD 7（燕山一模）已知O如图， (1)作O 的直径 AB； (2)以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，交O 于 C，D 两点； (3)连接 CD 交 AB 于点 E，连接 AC，BC 根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断： CEDE；BE3AE；BC2CE 所有正确推断的序号_. 专注一对一专注一对一郝老郝老师师 17190163888 第 9 页 共 45 页 1.（延庆一模）已知，如图，点 A 是直线 l 上的一点求作：正

15、方形 ABCD，使得点 B 在直线 l 上 （要求保留作图痕迹，不用写作法）请你说明，BAD90的依据是什么？ 2（石景山一模）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：如图1，直线l及直线l上一点P 求作：直线PQ，使得PQl 作法：如图2， 以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B； 分别以点A，B为圆心，以大于 1 2 AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q； 作直线PQ所以直线PQ就是所求作的直线 根据小石设计的尺规作图过程，根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：连接

16、QA，QB QA （），PA （）， PQl（）（填推理的依据） 3. （房山一模）下面是小方设计的“作一个 30角”的尺规作图过程. 已知：直线 AB 及直线 AB 外一点 P 求作：直线 AB 上一点 C,使得PCB=30 作法： 在直线 AB 上取一点 M； 以点 P 为圆心，PM 为半径画弧，与直线 AB 交于点 M、N； 分别以 M、N 为圆心，PM 为半径画弧，在直线 AB 下方两弧交于点 Q 连接 PQ，交 AB 于点 O. 以点 P 为圆心，PQ 为半径画弧，交直线 AB 于点 C 且点 C 在点 O 的左侧. 则PCB 就是所求作的角 根据小方设计的尺规作图过程，根据小方设计的尺规作图过程， 图 2 图 1 第 10 页 共 45 页 1 2 AC （1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：PM=PN=QM=QN， 四边形 PMQN 是 PQMN，PQ=2PO（）（填写推理依据） 在 RtPOC 中， _=sin PC PO PCB （填写数值） PCB=30 4（密云一模）下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程