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1、北京市西城区2013年高三一模试卷 高三数学(文科) 2013.4第卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1已知全集,集合,那么(A)(B) (C)(D) 2复数 (A)(B)(C)(D)3执行如图所示的程序框图若输出,则输入角 (A)(B)(C)(D)4设等比数列的公比为,前项和为,且若,则的取值范围是(A)(B)(C)(D)5某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为的正方形,该正三棱柱的表面积是(A) (B)(C) (D)6设实数,满足条件 则的最大值是(A)(B)(C)(D)7已知函数,则“”是“
2、,使”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件8如图,正方体中,是棱的中点,动点在底面内,且,则点运动形成的图形是(A)线段(B)圆弧(C)椭圆的一部分(D)抛物线的一部分第卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9已知向量,若向量与垂直,则实数_10已知函数 则_11抛物线的准线方程是_;该抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,则_12某厂对一批元件进行抽样检测经统计,这批元件的长度数据 (单位:)全部介于至之间将长度数据以为组距分成以下组:,得到如图所示的频率分布直方图若长度在内的元件为合格品,根据频率分布直
3、方图,估计这批产品的合格率是_ 13在中,内角,的对边边长分别为,且若,则的面积是_ 14已知数列的各项均为正整数,其前项和为若且,则_;_.三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分13分)已知函数的一个零点是 ()求实数的值; ()设,求的单调递增区间 16(本小题满分14分)在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,/, ()求证:平面;()求四面体的体积; ()线段上是否存在点,使/平面?证明你的结论17(本小题满分13分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过小时收费元,超过小时的部分每小时收费元
4、(不足小时的部分按小时计算)现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过小时()若甲停车小时以上且不超过小时的概率为,停车付费多于元的概率为,求甲停车付费恰为元的概率;()若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为元的概率18(本小题满分13分)已知函数,其中()求的极值;()若存在区间,使和在区间上具有相同的单调性,求的取值范围19(本小题满分14分)如图,已知椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点()若点的横坐标为,求直线的斜率;()记的面积为,(为原点)的面积为试问:是否存在直线,使得?说明理由20(本小题满分13分
5、)已知集合 对于,定义;与之间的距离为()当时,设,求;()证明:若,且,使,则;()记若,且,求的最大值北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学(文科)参考答案及评分标准 2013.4一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1 B; 2A; 3D; 4B; 5C; 6C; 7A; 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9; 10; 11,; 12; 13; 14,注:11、14题第一问2分,第二问3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15(本小题满分13分) ()解:依题意,得, 1分 即 , 3分解得
6、 5分()解:由()得 6分 8分 10分由 ,得 , 12分所以 的单调递增区间为, 13分16(本小题满分14分)()证明:在中,因为 ,所以 2分又因为 , 所以 平面 4分()解:因为平面,所以因为,所以平面 6分 在等腰梯形中可得 ,所以 所以的面积为 7分所以四面体的体积为: 9分()解:线段上存在点,且为中点时,有/ 平面,证明如下:10分连结,与交于点,连接因为 为正方形,所以为中点 11分 所以 / 12分因为 平面,平面, 13分 所以 /平面所以线段上存在点,使得/平面成立 14分17(本小题满分13分)()解:设“甲临时停车付费恰为元”为事件, 1分 则 所以甲临时停车
7、付费恰为元的概率是 4分()解:设甲停车付费元,乙停车付费元,其中 6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:,共种情形 10分其中,这种情形符合题意 12分故“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为 13分18.(本小题满分13分)()解:的定义域为, 且 2分 当时,故在上单调递增 从而没有极大值,也没有极小值 4分 当时,令,得 和的情况如下: 故的单调减区间为;单调增区间为从而的极小值为;没有极大值 6分()解:的定义域为,且 8分 当时,在上单调递增,在上单调递减,不合题意 9分 当时,在上单调递减当时,此时在上单调递增,由于在上单调递减,不合题意 11分当时,此时在上单调递减,
8、由于在上单调递减,符合题意 综上,的取值范围是 13分19(本小题满分14分)()解:依题意,直线的斜率存在,设其方程为 1分将其代入,整理得 3分设,所以 4分故点的横坐标为依题意,得, 6分解得 7分()解:假设存在直线,使得 ,显然直线不能与轴垂直由()可得 8分因为 ,所以 , 解得 , 即 10分因为 ,所以 11分所以 , 12分整理得 13分因为此方程无解,所以不存在直线,使得 14分20(本小题满分13分)()解:当时,由,得 , 所以 3分()证明:设,因为 ,使,所以 ,使得 ,所以 ,使得 ,其中所以 与同为非负数或同为负数 6分 所以 8分()解法一:设中有项为非负数,项为负数不妨设时;时,所以