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1、高考数学试卷中填空题的特点及复习对策北郊高级中学数学组填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等.填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力.在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷.一般来讲，每道题都应力争在13分钟内完成.填空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了
2、得零分，所以，考生在填空题上失分一般比解答题严重.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.从历年高考成绩看，填空题失分率一直很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下工夫.
3、由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下工夫.解填空题的基本原则是“小题不能大做”，解题的基本策略是“巧做”.填空题的解法常见的有直接推演法、特殊元素法、图象解析法、待定系数法、等价转化法、分类讨论法、探索规律法七种.一、直接推演法：直接推演法，又称综合法，由因导果法，是解填空题的一种常用方法，也是一种基本方法.它的解题方法是根据填空题的题设条件，通过应用定义、公理、定理、公式等经过计算、变形、推理或判断，得出正确的结论.直接推演法解题自然，运用数学知识，通过综合法，直接得出正
4、确答案.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.典型例题： 例1：（2012年上海市理4分）计算： （为虚数单位）.【答案】.【考点】复数的运算.【解析】将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可：.例2：（2012年四川省理4分）设全集，集合，则 .【答案】【考点】集合的运算.【解析】，集合，.例3：（2012年北京市理5分）已知，若同时满足条件：，则m的取值范围是 【答案】.【考点】简易逻辑，函数的性质.【解析】由得. 条件，当时，. 当时，不能做到在时，所以舍去. 作为二次函数开口只能向下，且此时两个根为. 为保证条件成立，必须. 又由条件
5、的限制，可分析得出时，恒负. 就需要在这个范围内有得正数的可能，即4应该比两根中小的那个大. 由得， 当时，解得交集为空集，舍去. 当时，两根同为24，舍去.当时，.综上所述，.例4：（2012年上海市理4分）已知是奇函数，且，若，则 .【答案】【考点】函数的奇偶性.【解析】函数为奇函数，即又，.例5：（2012年辽宁省理5分）已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为 .【答案】4.【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法.【解析】点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别
6、为8，2.由得，.过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2.过点P，Q的抛物线的切线方程分别为.联立方程组解得.点A的纵坐标为4.例6：（2012年江苏省5分）函数的定义域为 【答案】.【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式.【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得.例7：（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 【答案】9.【考点】函数的值域，不等式的解集.【解析】由值域为，当时有，即， . 解得，.不等式的解集为，解得.例8：（2012年天津市理5分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样
7、的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.【答案】18，9.【考点】分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.【分析】分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，应从小学中抽取，中学中抽取.例9：（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 【答案】.【考点】等比数列，概率.【解析】以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，3，9，-27，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是.二、特殊元素法：特
8、殊元素法的解题方法是在有些填空题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解决这类解答题，可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值，代入原命题进行验证，从而确定答案.典型例题： 例1：（2012年四川省理4分）记为不超过实数的最大整数，例如，.设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则.其中的真命题有 _.（写出所有真命题的编号）【答案】.【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用.【解析】对于，若，根据 当n=1时，x2=3, 同理x3=. 故正确.对于，可以采用特殊
9、值列举法：当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此时数列从第二项开始为2，1，2，1，不成立.故错误.对于，由的定义知，而为正整数，故，且是整数.对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，不论是偶数还是奇数，有.和都是整数，.又当时，成立.当时，.故正确.对于，当时， ，即.，即，解得.由，.故正确.综上所述，真命题有 .例2：（2012年浙江省理4分）设，若时均有，则 【答案】.【考点】特殊元素法，偶次幂的非负数性质.【解析】时均有，应用特殊元素法，取，得.例3：（2012年浙江省理4分）在中，是的中点，则 【答案】.【考点】平面向量数量积的运
10、算.【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：如图，假设ABC是以ABAC的等腰三角形，AM3，BC10，由勾股定理得ABAC.则cosBAC，.例4：（2012年湖南省文5分）如图，在平行四边形ABCD中 ，APBD，垂足为P，且 ，则= .【答案】18【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算.【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：假设平行四边形ABCD是特殊的平行四边形菱形，则与共线，.=36=18.三、图象解析法：图象解析法的解题方法是解填空题的一种常用方法，它是根据数形结合的原理，先画出示意图，再观察图象的特征作出选择的方法.对于一些具有几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图
11、形进行分析，则能在数形结合，以形助数中获得形象直观的解法.典型例题：例1：（2012年全国大纲卷理5分）若满足约束条件，则的最小值为 .【答案】.【考点】线性规划.【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（3，0）时，目标函数最大，当目标函数过点（0，1）时最小.例2：（2012年天津市理5分）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 .【答案】.【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点.【分析】函数，当时，当时，综上函数.作出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时，
12、满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是.例3：（2012年福建省理4分）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 【答案】.【考点】新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应用.【解析】根据新运算符号得到函数为， 化简得：.如图，作出函数和的图象，如果有三个不同的实数解，即直线与函数f(x)的图象有三个交点，如图，（1）当直线过抛物线的顶点或时，有两个交点；（2）当直线中时，有一个交点；（3）当直线中时，有三个交点. 设三个交点分别为：x1，x2，x3，且依次是从小到大的顺序排列，所以
13、x1即为方程2x2x小于0的解，解得x1，此时x2x3，所以x1x2x3.与函数f(x)有2个交点的最低位置是当ym与x轴重合时，此时x1x2x30.所以当方程有三个不等实根时，x1x2x3.例4：（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 【答案】.【考点】可行域.【解析】条件可化为：. 设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围. 作出（）所在平面区域（如图）.求出的切线的斜率，设过切点的切线为， 则，要使它最小，须. 的最小值在处，为.此时，点在上之间. 当（）对应点时， ， 的最大值在处，为7. 的取值范围为，即的取值范围是.四、待定系数法：待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数.典型例题： 例1：（2012年北京市理5分）已知为等差数列，为其前n项和.若，则= ； 【答案】1；.【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式和已知，得 . .例2：（2012年广东省理5分）.已知递增的等差数列满足，则.【答案】.【考点】等差数列.【解析】设递增的等差数列的公差为（），由得， 解得，舍去负值，.例3：（2012年浙
