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1、 常微分方程期末考试试卷(6)学院 _ 班级 _ 学号 _ 姓名 _ 成绩 _一 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1.当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。2、_称为齐次方程。3、求 =f(x,y)满足的解等价于求积分方程_的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程 的解 y=作为的函数在它的存在范围内是_。5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组的_称之为的一个基本解组。7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_。8、满足_的点（），称为方程组的
2、奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：=2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算6、试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果满足初始条件的解，那么 常微分方程期末考试答案卷一、 填空题。（30分）1、2、3、y=+4、连续的5、w6、n个线性无关解7、8、X(x,
3、y)=0,Y(x,y)=09、为零 稳定中心二、计算题。（60分）1、解： (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 所以2、解：，令z=x+y则所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+即3、解： 设f(x,y)= ,则 故在的任何区域上存在且连续， 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 显然，是通过点（0，0）的一个解； 又由解得，|y|= 所以，通过点（0，0）的一切解为及|y|=4、解： (1) 齐次方程的通解为x= (2)不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=-于是 通解为x=+5、解： det()= 所以， 设对应的特征向量为 由 取 所以，= 6、解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件 ，故奇点为原点（0，0） 又由det(A-E)=得 所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型： a，c为实数三、证明题。 （10分）证明： 设的形式为= （1） （C为待定的常向量） 则由初始条件得= 又= 所以，C= 代入（1）得= 即命题得证。
