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1、 常微分方程期末考试试卷(6)学院 _ 班级 _ 学号 _ 姓名 _ 成绩 _一 填空题 (共30分,9小题,10个空格,每格3分)。1.当_时,方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程,或称全 微分方程。2、_称为齐次方程。3、求 =f(x,y)满足的解等价于求积分方程_的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G内连续,且关于y满足利普希兹条件,则方程 的解 y=作为的函数在它的存在范围内是_。5、若为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组的_称之为的一个基本解组。7、若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt =_。8、满足_的点(),称为方程组的
2、奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部_时,零解是稳定的,对应的奇点称为_。二、计算题(共6小题,每题10分)。1、求解方程:=2.解方程: (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解4、求解常系数线性方程:5、试求方程组的一个基解矩阵,并计算6、试讨论方程组 (1)的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac0。三、证明题(共一题,满分10分)。试证:如果满足初始条件的解,那么 常微分方程期末考试答案卷一、 填空题。(30分)1、2、3、y=+4、连续的5、w6、n个线性无关解7、8、X(x,
3、y)=0,Y(x,y)=09、为零 稳定中心二、计算题。(60分)1、解: (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 所以2、解:,令z=x+y则所以 z+3ln|z+1|=x+, ln=x+z+即3、解: 设f(x,y)= ,则 故在的任何区域上存在且连续, 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件, 显然,是通过点(0,0)的一个解; 又由解得,|y|= 所以,通过点(0,0)的一切解为及|y|=4、解: (1) 齐次方程的通解为x= (2)不是特征根,故取代入方程比较系数得A=,B=-于是 通解为x=+5、解: det()= 所以, 设对应的特征向量为 由 取 所以,= 6、解: 因为方程组(1)是二阶线性驻定方程组,且满足条件 ,故奇点为原点(0,0) 又由det(A-E)=得 所以,方程组的奇点(0,0)可分为以下类型: a,c为实数三、证明题。 (10分)证明: 设的形式为= (1) (C为待定的常向量) 则由初始条件得= 又= 所以,C= 代入(1)得= 即命题得证。