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1、类型二阶梯费用类问题【典例1】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种
2、商品的利润仍随售价的增大而增大请直接写出m的取值范围【答案】（1）；（2） 这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）【解析】【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可；（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围；（3）写出w关于x的函数关系式，根据当x15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入（4，10000），（5，9500）可得：，解得：，即y与x的函数关系式为；（2）设这一周该商场销售这种商
3、品获得的利润为w，根据题意可得：，解得：，当x=12时，w有最大值，w=54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，由题意，当x15时，利润仍随售价的增大而增大，可得：，解得：m3，故m的取值范围为：【点睛】本题考查二次函数的实际应用最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值【典例2】 (2020 宁波10分)A,B两地相距200千米.早上8:00货车甲从A地出发将一批物资运往 B地,行驶一段路程后 出现故障，即刻停车与B地联系. B地收到
4、消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲后,用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上,随后开往B地两辆货车离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示，(通话等其他时间忽略不计)(1)求货车乙在遇到货车甲前,它离开出发地的路程)关于x的函数表达式;(2)因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时,间货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米?【答案】（1）y=80x-128(1.6x3.1)（2）至少需要75千米/小时【解析】（1）设函数表达式为y=kx+b(k0)把(1.6, 0)，(2.6, 80)代入y=
5、kx+b, 得解得y关于x的函数表达式为y=80x- 128;由图可知200-80=120 (千米)，12080=1.5 (小时)，1.6+1.5=3.1 (小时) ,x的取值范围是1.6x3.1.货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式为y=80x-128 (1.6x3.1) ;(2)当y=200-80=120时,120=80x-128 ,解得x=3.1,由图可知，甲的速度为 (千米/小时) ,货车甲正常到达B地的时间为：200 50=4 (小时) ,18 60=0.3 (小时)，4+1=5 (小时)，5-3.1-0.3=1.6 (小时) ,设货车乙返回B地的车速为v千米
6、/小时,1.6v120,解得v75.答:货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时.【总结】(1)由待定系数法可求出函数解析式;(2)根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v120，解不等式即可得出答案.【点评】本题考查了一次函数的应用;待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键.【典例3】某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/kg)506070销售量y(kg)1008060(1)求y与x
7、之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润收入成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）y2x200(40x80)；（2）w=2x2280x8 000(40x80)；（3）当x70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元【解析】(1)根据题意，设ykxb，其中k，b为待定的常数，由表中的数据得解得y2x200(40x80)；(2)根据题意得Wy (x40)(2x200)(x40)2x2280x8 000(40x80)；(3)由(2)可知：W2(x70)21 800，
8、当售价x在满足 40x70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足 70x80的范围内，利润W随着x的增大而减小当x70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元【典例4】襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：y(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(
9、元/件)的取值范围【答案】（1）W（2）800万（3）45x55.【解析】(1)W(2)由(1)知，当40x60时，W2(x50)2800.2600，W最大值为800万元答：当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；(3)当40x60时，令W750，得2(x50)2800750，解得x145，x255.由函数W2(x50)2800的性质可知，当45x55时，W750，当60x70时，W最大值为600750.答：要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45x55.【典例5】荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙
10、虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系为p日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系如图331所示(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元？(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1 kg小龙虾，就捐赠m(m7)元给村里的特困户在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围【答案】（1）y2t200(1t80，t为整数)；（2）W(p6)y（3）21天（4）5m7. 图331【解析】 (1)根据函数图象，
11、利用待定系数法求解可得；(2)设日销售利润为W，分1t40和41t80两种情况，根据“总利润每千克利润销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；(3)求出W2 400时x的值，结合函数图象即可得出答案；(4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由1t40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案解：(1)设函数表达式为yktb，将(1，198)，(80，40)代入，得解得y2t200(1t80，t为整数)；(2)设日销售利润为W，则W(p6)y，当1t40时，W(2t200)(t30)22 450，当t30时，W最大2 450；当41t80时，w
12、(2t200)(t90)2100，当t41时，W最大2 301，2 4502 301，第30天的日销售利润最大，最大利润为2 450元；(3)由(2)得当1t40时，W(t30)22 450，令W2 400，即(t30)22 4502 400，解得t120，t240，由函数W(t30)22 450的图象(如答图)可知，当20t40时，日销售利润不低于2 400元， 第3题答图而当41t80时，W最大2 3012 400，t的取值范围是20t40，共有21天符合条件；(4)设日销售利润为W，根据题意，得W(2t200) t2(302m)t2 000200m，其函数图象的对称轴为t2m30，W随t
13、的增大而增大，且1t40，由二次函数的图象及其性质可知2m3040，解得m5，又m7，5m7.【典例6】小慧和小聪沿图332中景区公路游览小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆图中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系试结合图中信息回答：图332(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度
14、按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？【答案】（1）7:30（2）如下（3）11:00【解析】(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50202.5(h)，小聪上午10：00到达宾馆，小聪从飞瀑出发的时刻为102.57.5，即7：30.答：小聪早上7：30从飞瀑出发；(2)设直线GH的函数表达式为sktb，由于点G的坐标为，点H的坐标为(3，0)，则有解得直线GH的函数表达式为s20t60，又点B的纵坐标为30，当s30时，得20t6030，解得t，点B的坐标为.答：点B的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆30 km(即景点草甸)处第一次相遇；(3)方法一：设直线DF的函数表达式为sk1tb1，该直线过点D和F(5，0)，由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为5030(h)，小慧从飞瀑准备返回时t5(h)，即点D的坐标为.
