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1、压轴02 函数的图像及应用 一、单选题1. 已知f(x)=2x2+3x,2x0ln1x+1,0x2，若g(x)=|f(x)|axa的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（ ）A. ln33,1e)B. ln33,12e)C. (0,1e)D. (0,12e)【答案】A【解析】解：g(x)=|f(x)|axa的图象与x轴有3个不同的交点，则|f(x)|=a(x+1)有3个不同的实根，即有函数y=|f(x)|与y=a(x+1)的图象有3个交点，作出函数y=|f(x)|与y=a(x+1)的图象，如图当直线经过点(2,ln3)两图象有3个交点，即有a=ln33；当直线与y=ln(x+1)(
2、0x2)相切时，两图象有2个交点设切点为(m,n)，则切线的斜率为11+m=a，又n=a(m+1)，n=ln(m+1).解得a=1e，m=e12，则图象与x轴有3个不同的交点，即有a的取值范围是ln33,1e).故选A.2. 已知函数f(x)=exax2(aR)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）A. (e4,+)B. (e2,+)C. (e24,+)D. (e22,+)【答案】C【解析】解：令f(x)=exax2=0，当x=0时显然不成立，故a=exx2，令g(x)=exx2，则问题转化为直线y=a与g(x)=exx2的图象有三个交点，g(x)=(x2)exx3，令g(x)=0，解得
3、x=2，当x2时，g(x)0，g(x)在(,0)，(2,+)上单调递增，当0x2时，g(x)e24，故实数a的取值范围是故选C3. 函数f(x)=x2+a|x|(aR)的图象不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：直接利用排除法：当a=0时，选项B成立当a=1时，f(x)=x2+1|x|，函数的图象类似D，当a=1时，f(x)=x21|x|，函数的图象类似C，故选A4. 已知函数f(x)=e(x+1)2,x0x+4x3,x0，函数y=f(x)a有四个不同的零点，从小到大一次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（ ）A. 3,3+eB. 3,3+eC.
4、 3,+D. 3,3+e【答案】D【解析】解：当x0时，f(x)=ex+12，在(,1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，f(1)=1是最小值，在x趋近于时，f(x)趋近于+，在x=0时，f(x)=f(0)=e;当x0时，f(x)=x+4x3，在(0,2)上f(x)从+递减，在(2,+)上f(x)单调递增到+，f(2)=1是最小值，函数f(x)的图象如图所示：函数y=f(x)a有四个不同的零点，即两函数y=f(x)与y=a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1ae，x1，x2是方程e(x+1)2=a的两根，即x2+2x+1lna=0的两根，所以x1x2=1lna；x3，x4是方程x+
5、4x3=a的两根，即x2(3+a)x+4=0的两个根，x3+x4=3+a，所以x1x2+x3+x4=lna1+3+a=a+lna+2，这是a的单调增函数，在1bcB. bcaC. cabD. bac【答案】B【解析】解：f(x)=3x+x=0，则x=3x，g(x)=log3x+x，则x=log3x，(x)=x3+x，则x=x3，函数f(x)，g(x)，(x)的零点分别为a，b，c，作出函数y=3x，y=log3x，y=x3，y=x的图象如图：由图可知：bca，故选：B6. 已知函数f(x)=ex，函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称，令(x)=f(x),x0,|g(x)|,x0,则方
6、程e2(x)=x+e2解的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：因为函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称，f(x)=ex，所以g(x)=lnx，(x)=ex,x0lnx,x0,所以(x)的图象如图所示方程e2(x)=x+e2可化为(x)=xe2+1，即求函数y=(x)与y=xe2+1的图象的交点个数当x0时，y=xe2+1的图象恒过点(0,1)，此时有两个交点;当0x0时，函数y=1+2lnx，函数为增函数，当x0时，函数y=1+2ln(x)函数为减函数，排除D故选B8. 已知函数f(x)=|log2(x1)|,13，若关于x的方程f(x)=m有4个不同的
7、实根x1、x2、x3、x4，且x1x2x3x4，则(x1+x2)(x3+x4)x1x2=（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】解：作出函数f(x)=|log2(x1)|,13的图象如图fx=m有4个不同的实根x1、x2、x3、x4，且x1x2x3x4，可得x3+x4=10，且log2(x11)=log2(x21)，即为log2x11+log2x21=0，即有x11x21=1，即为x1x2=x1+x2，可得x1+x2x3+x4x1x2=10故选D9. 已知fx是定义在R上的奇函数，当x0时，则关于的函数Fx=fxa0a1的所有零点之和为（ ）A. 2a1B. 2a1C. 12
8、aD. 12a【答案】C【解析】解：当x0时，f(x)=log12(x+1),x0,1)1|x3|,x1,+)；即x0,1)时，f(x)=log12(x+1)(1,0；x1,3时，f(x)=x21,1；x(3,+)时，f(x)=4x(,1)；画出x0时f(x)的图象，再利用奇函数的对称性，画出x2,若函数g(x)=xf(x)a的零点个数恰为2个，则（ ）A. 23a87或a=1B. 23a87C. 78a32或a=1D. 78a0，则满足a318，可得78a32;若a0，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，故a=1a514则a，故选D二、填空题11. 设f(x)=x2mx+2,x0,若方
9、程f(x)=x恰有三个零点，则实数m的取值范围为_【答案】m221【解析】解：因为f(x)=x2mx+2,x0，且方程f(x)=x恰有三个零点，所以直线y=m+1与g(x)=x+2x,x0的图像有三个不同的交点，当x0时，gx=x+2x，g(x)=12x2=x22x2，当x0；当2x0时，g(x)0时，gx=lnxx，g(x)=1lnxx2，当0x0；当xe时，g(x)e时，g(x)恒大于0，作出函数g(x)的图象，如图所示：由图可知，当m+1g2=22，即m221时，直线y=m+1与g(x)的图像有三个不同的交点综上所述，实数m的取值范围为mg(t1)g(t2)，f(t2)f(t1)t2t1g(t2)g(t1)t2t1，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，由图可知，f(t)在t2时刻的切线的斜率小于g(t)在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，在t3时刻，
