《27.二次函数与面积有关的问题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破》由会员分享，可在线阅读，更多相关《27.二次函数与面积有关的问题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 类型三二次函数与图形面积问题【典例1】已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，且对于该二次函数图象上的任意两点，当时，总有（1）求二次函数的表达式；（2）若直线，求证：当时，；（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为【解析】【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；（2）利用反证法证明即可；（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解
2、即可【详解】解：（1）对于，当时，所以；当时，所以，又因为，所以或，若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意故可设二次函数的表达式为，依题意，二次函数的图象过，两点，所以，解得所求二次函数的表达式为（2）当时，直线与直线不重合，假设和不平行，则和必相交，设交点为，由得，解得，与已知矛盾，所以与不相交，所以（3）如图，因为直线过，所以，又因为直线，所以，即，所以，所以，所以，设，则，所以，所以所以当时，的最小值为【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思
3、想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点（1）求此抛物线的表达式；（2）若，求点的坐标；（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）【解析】【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PDy轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到
4、面积的最大值，再求出点P的坐标即可【详解】解：（1）在抛物线中，令，则，点C的坐标为（0，），OC=2，点A为（，0），点B为（，0），则把点A、B代入解析式，得，解得：，；（2）由题意，点C为（0，），点P的纵坐标为，令，则，解得：，点P的坐标为（，）；（3）设直线AC的解析式为，则把点A、C代入，得，解得：，直线AC的解析式为；过点P作PDy轴，交AC于点D，如图：设点P 为（，），则点D为（，），OA=4，当时，取最大值8；，点P的坐标为（，）【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想
5、进行解题【典例3】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由【解析】解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE= P点P在抛物线上 GMCByPA解得，（不合题意，舍去） PE=四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=(3
6、) 假设存在PAB=BAC = PAACMG轴于点G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMG PCA时，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 当MAG PCA时有=即 解得：（舍去） M GMCByPA 点M在轴右侧时，则 () 当AMG PCA时有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） M 存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，13分【典例4】如图,在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形,ACB=
7、90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）1分二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)2分解得：b=-2 c=-33分（2）如题图：直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)直线A
8、B的解析式为：y=x+14分二次函数设点E(t， t+1),则F（t，）5分EF= 6分 =当时，EF的最大值=点E的坐标为（，）7分（3）如题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形 可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4） S=S+S = = 10分如备用图：)过点E作aEF交抛物线于点P,设点P(m,)则有： 解得:, ,）过点F作bEF交抛物线于，设（n，）则有： 解得： ，（与点F重合，舍去）综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形【典例5】如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，2）.（1）求此函数的关系式；（2
9、）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由.【解析】（1）的顶点为C（1，2），（2）设直线PE对应的函数关系式为由题意，四边形ACBD是菱形. 故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M由P(0，1)，M（1，0），得从而， 设E(，)，代入，得 解之得，根据题意，得点E(3，2) （3） 假设存在这样的点F，可设F(，)过点F作FG轴，垂足为点G.在RtP
10、OM和RtFGP中，OMP+OPM=90，FPG+OPM=90，OMP=FPG，又POM=PGF，POMFGP. 又OM=1，OP=1，GP=GF，即解得，根据题意，得F(1，2)故点F(1，2)即为所求 【典例6】如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；
11、若不存在，请说明理由【解析】解：（1）抛物线的顶点为Q（2，1）设将C（0，3）代入上式，得， 即（3分）（2）分两种情况：当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令=0, 得解之得, 点A在点B的右边, B(1,0), A(3,0)P1(1,0) （5分）解:当点A为APD2的直角顶点是(如图)OA=OC, AOC=, OAD2=当D2AP2=时, OAP2=, AO平分D2AP2又P2D2轴, P2D2AO, P2、D2关于轴对称设直线AC的函数关系式为将A(3,0), C(0,3)代入上式得, （7分）D2在上, P2在上,设D2(,), P2(,)()+()=0, , (舍)当=2时, =1 P2的坐标为P2(2,1)(即为抛物线顶点)P点坐标为P1(1,0), P2(2,1) (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形P(2,1), 可令F(,1)解之得: , F点有两点,即F1(,1), F2(,1)
