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1、类型七 二次函数与直角三角形有关的问题【典例1】如图，抛物线与轴交于，两点 （1）若过点的直线是抛物线的对称轴求抛物线的解析式；对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由（2） 当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围【答案】（1）；存在，或；（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，根据轴对称得到，求出点B的坐标，勾股定理得到，再根据，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；（2）当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，
2、函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线，若过点的直线是抛物线的对称轴，则，解得：b=4，；存在，如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，则，对于，令y=0，则，解得：，A（-1,0），B（5,0），设点P（2，m），由可得：，解得：，同理，当点P在x轴下方时，综上所述，点或（2）抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，当时，取x=2，y有最大值，即，解得：，又，【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）问
3、要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度不大，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质【典例2】如图，二次函数yax2bx4的图象与x轴交于点A(1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点（1）求出二次函数yax2bx4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角
4、形与DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由【答案】（1）y=-x23x4，y=-x4；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）运用待定系数法，利用A，B两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式，利用B，C两点的坐标确定直线BC的表达式；（2）先求得DE的长，根据平行四边形的性质得到PF=DE，点P与点F的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于DE长构建一元二次方程求解；（3）结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在PCFCDE一种情况CDE的三边均可求，（2）中已表示PF的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用
5、勾股定理表示出CF的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点P是否存在，以及求解点P的值【详解】（1）由题意，将A(-10)，B(40)代入，得，解得，二次函数的表达式为，当时，y=4，点C的坐标为(0，4)，又点B的坐标为(4，0)，设线段BC所在直线的表达式为，解得，BC所在直线的表达式为；（2）DEx轴，PFx轴，DEPF，只要DE=PF，此时四边形DEFP即为平行四边形由二次函数y=-+3+4=(-) 2+，得D的坐标为(，)，将代入，即y=-+4=，得点E的坐标为(，)，DE=-=，设点P的横坐标为t，则P(t，-t2+3t+4)，F(t，-t+4)，PF=-t2+3t+4-(-t
6、+4)=-t2+4t，由DE=PF，得-t2+4t=，解之，得t1= (不合题意，舍去)，t2=，当t=时，-t2+3t+4=-()2+3+4=，P的坐标为(，)；（3）由（2）知，PFDE，CED=CFP，又PCF与DCE有共同的顶点C，且PCF在DCE的内部，PCFDCE，只有当PCF=CDE时，PCFCDE，由D (，)，C(0，4)，E(，)，利用勾股定理，可得CE=，DE=，由（2）以及勾股定理知，PF=-t2+4t，F(t，-t+4)，CF=，PCFCDE，即，t0，()=3，t=，当t=时，-t2+3t+4=-()2+3+4=点P的坐标是(，)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查
7、了一次函数的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是，学会用数形结合的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题【典例3】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标【答案】（1），直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或【解析】
8、【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；（2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；（3）根据题意画出图形，分情况讨论：如图，当点在轴正半轴上时，记为点过点作直线，垂足为再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，如图，当点在轴负半轴上时，记为点过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案【详解】解：（1）令 ，设直线的函数表达式为：，把代入得： 解得： 直线的函数表达式为：（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为，分两种情况：当时，得解得：，（舍去）当时，点的
9、坐标为当时，得解得：，（舍去）当时，点的坐标为当点是线段的三等分点时，点的坐标为或（3）解：直线与轴交于点，点坐标为分两种情况：如图，当点在轴正半轴上时，记为点过点作直线，垂足为则，即又，连接，点的坐标为，点的坐标为，轴，点的坐标为如图，当点在轴负半轴上时，记为点过点作直线，垂足为，则，即又，由可知，点的坐标为 点的坐标为或【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键【典例4】如图1，排球场长为18m，宽为
10、9m，网高为2.24m队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m即BA2.88m这时水平距离OB7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析
11、；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处【解析】【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x9和x18时，对应函数的值即可求解；（2）当y0时，y（x7）2+2.880，解得：x19或5（舍去5），求出PQ68.4，即可求解【详解】（1）设抛物线的表达式为：ya（x7）2+2.88，将x0，y1.9代入上式并解得：a，故抛物线的表达式为：y（x7）2+2.88；当x9时，y（x7）2+2.882.82.24，当x18时，y（x7）2+2.880.640，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在RtOPQ中，OQ18117，当y0时，y（x7）2+2.880，解得：x19或5（舍去5），OP19，而OQ17，故PQ68.4，98.40.50.1，发球点O在底线上且距右边线0.1米处.【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.
