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1、压轴19 数列的综合应用一、单选题1. 已知数列an满足：an0，且an2=2an+12an+1(nN)，下列说法正确的是A. 若a1=12，则anan+1B. 若an1C. a1+a52a3D. an+2an+122an+1an【答案】D【解析】解：由题意，因为an2=2an+12an+1，所以an21=2an+12an+11，所以an1an+1=an+112an+1+1，又由an0，可得an+10，2an+1+10，所以(an1)(an+11)0，对于A中，由a1=12，得到an1=120，则an+110，所以an2an+12=an+12an+1=an+1(an+11)0，所以anan+1
2、,所以不正确；B中，anan+1，可得an2an+12=an+12an+1=an+1(an+11)0，所以an0，an单调递减，且anan+1越来越小，所以a1a3a3a5，即a1+a52a3，所以C项错误；对于D项，设an+1=x，则an=2x2x，an+2=1+1+8x24，由上图可知an+2an+122an+1an，即1+1+8x24x22x2x2x等价于1+8x2x2x1+8x24x1，即22x2x3x1，即x22x+10而x22x+1=(x1)20显然成立，所以D项正确2. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的
3、研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】C【解析】设第n年的研发投资资金为an，a1=130，则an=1301.12n1，由题意，需an=1301.12n1200，两边取以10为底的对数，又nN1.12n1200130，1.11n12013，(n1)lg1.12lg21.3，(n1)lg1.12lg2lg1.3，n1lg2lg1.3lg1.12，n10.30.110.05，n5，解得n5，故从2019年该公司全年的投入的研
4、发资金超过200万故选C3. 设实数b,c,d成等差数列，且它们的和为9，如果实数a,b,c成等比数列，则a+b+c的取值范围为A. (94,+)B. (,94)C. 94,3)(3,+)D. (,3)(3,94)【答案】C【解析】实数b,c,d成等差数列，且它们的和为9b+d=2c，3c=9，c=3实数a,b,c成等比数列，则b2=3a，且ab0a+b+c=b23+b+3，当b=32时，最小值为94故a+b+c的取值范围为94,3)(3,+)故选C4. 已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=(2n1)2n，设bn=2n+1nan，Sn为数列bn的前n项和.若Snt对恒成立，则实数t的
5、最小值是A. 1B. 32C. 2D. 52【答案】D【解析】解：因为a1+2a2+3a3+nan=(2n1)2n，所以a1+2a2+3a3+n1an1=(2n3)2n1，n2，两式相减得到nan=2n1(2n+1)，n2，因为a1=2，所以an=2,n=12n12n+1n,n2,所以bn=2n+1nan=32,n=112n1,n2,所以当n=1时，Sn=32，当n2时，Sn=32+12112n1112=5212n1，随n的增大而增大，所以2Sn0,an+1=an3an+1,nN,Sn表示数列1an前n项和，则下列选项中错误的是A. 若0a123则an1B. 若23a141an+12D. 若a
6、1=2，则S200023【答案】D【解析】解：对于选项A，令f(x)=x3x+1，则f(x)=3x21，所以f(x)在(0,33上单调递减，在(33,1)上单调递增，因为f(0)=1，f(33)=12390，f(1)=1，所以f(x)(0,1)，即对于an1(0,1)时，an(0,1)所以递推可知当a10,1时，故A正确；对于选项B，an+1an=an32an+1=(an1)(an2+an1)(1)，x2+x1=0的正根为x=512，因为23a10，所以a2a1，因为f(x)=3x2x，f(x)=x3x+1在(33,1)上单调递增，f(x)在(512,1)单调递增(2)，由(1)，(2)知，a
7、n(512,1)时，512=f(512)f(an)=an+1a2a3an512，所以an递减，故B正确；对于选项C，令g(x)=x395x+1，x0，则g(x)=3x295，易得g(x)min=g(155)=1615250，所以an395an+10，所以an3an+145an，即an+145an，所以1an4(1an+11an)，所以Sn=1a1+1a2+1an4(1a21a1)+4(1a31a2)+4(1an+11an)=4(1an+11a1)=4(1an+12)，故C正确，对于选项D，因为a1=2，a2=70与B证明方法同理，可知当a11时，an+1an1，令h(x)=x38x+1，x4，
8、则h(x)=3x28，易得h(x)h(4)0，所以an38an+10，所以an3an+17an，即an+17an(n2)，所以1an76(1an1an+1)(n2)，所以Sn=12+1a2+1an12+76(1a21a3)+76(1a31a4)+76(1an1an+1)=12+76(1a21an+1)=12+76(171an+1)12+16=23，故D错误故选：D6. 已知数列an满足：an+1+1an+1=2an+1an,nN.则A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：由an+1+1an+1=2an+1an,nN得an+1+1an+1an1an=an,nN，即an+1anan+1ana
9、nan+1=an，nN，整理得an+1an11anan+1=an，nNA项，若0an1，则anan+10,1，11anan+10，则an+1an0，所以an+11，则anan+11，1anan+10,1，故011anan+11，则an+1an10，所以an+1an，选项B错误;D项，当a1=2时，(a2+1a2)2=(2a1+1a1)2=(92)223，所以a2+1a23n+20不成立，所以D错误由于an+1+1an+1=2an+1an所以an+1+1an+12=an+1an2+3an2+2令n=an+1an2，所以n+1n2，则n+1n2nn12n1n22.212，所以n+12n+1，又1=
10、a1+1a12=2544，所以n+12n+4，即，故选C7. 已知数列an的前n项和为Sn，满足an=1np+1(np+1)，则下列说法正确的是A. 当p=1时，则S2019C. 当p=12时，则S20191D. 当p=1时，则S20191【答案】B【解析】解：当p=1时，得an=nn+112，则Snn2，故A错误；当p=0时，得an=12n，则有a1=12，a2=14，a3=16，a4=18，a5+a6+a7+a814，a9+a10+a1614，a17+a18+a3214，a33+a34+a6414，a513+a514+a102414，a1025+a1026+a153613072512=16
11、，则，故B正确；当p=12时，得an=1n32n12+1=1n2+n321n2+n=1nn+1=1n1n+1，得Sn12+121n+1=11n+11n2，则S20191，故C错；当p=1时，得an=1n2n+11nn+1，同理可得S20191，故D错故选B8. 已知函数y=f(x)的定义域为R，当x1，且对任意的实数x,yR，等式f(x)f(y)=f(x+y)成立，若数列an满足f(an+1)f(11+an)=1(nN)，且a1=f(0)，则下列结论成立的是A. f(a2016)f(a2018)B. f(a2017)f(a2020)C. f(a2018)f(a2019)D. f(a2016)f
12、(a2019)【答案】A【解析】解：对任意的实数x，yR，f(x)f(y)=f(x+y)恒成立，令x=1，y=0，则f(1)f(0)=f(1)，当x1，f(1)0，则f(0)=1，f(an+1)f(11+an)=1=f(0)，f(an+1+11+an)=f(0)=a1，则an+1+11+an=0，即an+1=11+an，且a1=1，当n=1时，a2=12；当n=2时，a3=2；当n=3时，a4=1，数列an是以3为周期的周期数列，a2013=a3=2，a2014=a1=1，a2015=a2=12，a2016=a3=2，a2017=a1=1，a2018=12当x0时，x0，f(0)=f(x)f(x)=1，进而得0f(x)1设x1，x2R且x10，0f(x2x1)1，f(x2)f(x1)=f(x1+(x2x1)f(x1)=f(x1)f(x2x1)10即f(x2)f(a2018)故选：A9. 已知数列an满足：an0，且an2=3an+122an+1nN，下列说法正确的是A. 若a1=12，则anan+1B. 若a1=2，则an1+37n1C. a1+a52a3D. an+2an+133an+1an【答案】B【解析】解：由题意，因为an2=3an+122an+1，所以an21=3an+122an+11.(1)，an1an+1=(3an+1+1)(an+11)，an0对于任意nN恒成
