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1、类型二 与动点有关的探究题【典例1】【问题情境】已知RtABC中，BAC90，ABAC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作RtDCE，使DCE90，且CDCA.沿CA方向平移CDE，使点C移动到点A，得到ABF.过点F作FGBC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图，当点E在线段AC上时，小文猜想GCGF，请你帮他证明这一结论；(2)如图，当点E在线段AC的延长线上，且CECA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图，将(2)中的“CECA”改为“CECA”，若设CDE，请用含的式子表示CGE的度数(直接回
2、答即可，不必证明)第1题图【答案】(1)证明：在RtBAC中，BAC90，ABAC，BCAABC45，FGBC，FGC90，GFC90GCF45，GFCGCF，GCGF；(2)解：DGEG，DGEG；证明：同(1)可证GCGF，DCE90，BCA45，DCG45，GFC45，DCGEFG，CDE平移得到ABF，CEAF，CECFAFCF，即EFAC，ACCD，EFCD，DCGEFG(SAS)，DGEG，DGCEGF，DGCEGCEGFEGC，即DGECGF90，DGEG；(3)解：CGE180.【典例2】综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点直线与抛物线交于，两点，与
3、轴交于点，点的坐标为（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标【答案】（1），直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或【解析】【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；（2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；（3）根据题意画出图形，分情况讨论：如图，当点在轴正半轴上时，记为点过点作直线，垂足为再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，
4、结合勾股定理可得答案，如图，当点在轴负半轴上时，记为点过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案【详解】解：（1）令 ，设直线的函数表达式为：，把代入得： 解得： 直线的函数表达式为：（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为，分两种情况：当时，得解得：，（舍去）当时，点的坐标为当时，得解得：，（舍去）当时，点的坐标为当点是线段的三等分点时，点的坐标为或（3）解：直线与轴交于点，点坐标为分两种情况：如图，当点在轴正半轴上时，记为点过点作直线，垂足为则，即又，连接，点的坐标为，点的坐标为，轴，点的坐标为如图，当点在轴负半轴上时，记为点过点作直线，垂足为
5、，则，即又，由可知，点的坐标为 点的坐标为或【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键【典例3】如图，ABC中，ABBC，BDAC于点D，FACABC，且FAC在AC下方，点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PECQ于点E，连接DE.(1)若ABC60，BPAQ.如图，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；
6、如图，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由；(2)若ABC260，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中的结论仍然成立(用含的三角函数表示)【答案】解：(1)DEAQ，DEAQ；成立；【解法提示】如解图，连接PC、PQ，BABC，ABC60，ABC是等边三角形，BCAC，BCAC，FACPBC30，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，ACQACPBCPACP60，PCQ是等边三角形，又PEQC，E为QC的中点，ABBC，BDAC，D为AC的中点，DEAQ，DEAQ；成立理由如下：如解图，连接PC、PQ.BABC，AB
7、C60，ABC是等边三角形，BCAC，BCAC，FACPBC30，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，PCQBCA60，PCQ是等边三角形，又PEQC，E为QC的中点，ABBC，BDAC，D为AC的中点，DEAQ，DEAQ；(2)如解图，连接PC，取PC中点M，连接MD、ME，设PE与AC交点为N，PDC90，MDPC，同理MEPC，即MPMCMDME，P、D、E、C四点共圆，NCENPD，EDCNPC，DEAQ，QACEDC，又QACPBC，NPCPBC，EPDNPCPBCBCP，EPDBCP，NCEBCP.由NCEBCP，QACPBC，得QACPBC，2sinDBC2
8、sin，即 2sin.【典例4】如图，等边ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形(1)如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？(2)如图，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由【答案】解：(1)ENMF；【解法提示】如解图，连接DE、DF，D、E、F是等边ABC三边中点，DEF是等边三角形，DEDF，ED
9、F60，DMN为等边三角形，DMDN，MDN60，MDFNDE60NDF，DMFDNE(SAS)，ENMF. 图 图(2)成立证明：如解图，连接DE、DF和EF，ABC是等边三角形，ABACBC.又D，E，F是三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线，DEDFEF，FDE60.又MDFFDN60， NDEFDN60， MDFNDE. 在DMF和DNE中，DMFDNE(SAS)，ENFM；(3)画出图形如解图，MF与EN相等的结论仍然成立(或ENMF成立)【解法提示】如解图，连接DE、EF、DF.D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，且ABC是等边三角形，DEF是等边三角形，DEDF，E
10、DF60.DMN是等边三角形，DMDN，MDN60，MDFMDEMDENDE，MDFNDE，MDFNDE(SAS)，MFNE.【典例5】已知，在矩形ABCD中，BC2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作EPF90，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.(1)发现问题如图，当点P运动过程中PBA与PAB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为_；(2)解决问题如图，当点P运动过程中PBA与PAB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若
11、BEAF23，EF，求DG的长【答案】解：(1)BEMFAB；【解法提示】如解图，取AB的中点N，连接PN、PM.PBA与PAB互余，PBAPAB90，APB90，APD90，N是AB的中点，M是AD的中点，PNBNANAB，AMDMPMAD，NAPNPA，MAPMPA.四边形ABCD是矩形，BAD90，ABCD，ADBC.BC2AB，AD2AB，而NAPMAPBAD90，NPAMPA90，即NPM90.EPF90，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.ABPBAP90，BAPDAP90，ABPDAP.PNBN，AMPM，ABPBPN，DAPMPA，ENPFMP，PNEPMF，
12、.NEMF，BENEBN，BEMFBN，又BNAB，BEMFAB.(2)不成立；理由如下：如解图，取AB的中点N，连接PN、PM，四边形ABCD是矩形，BADABC90，ABCD，ADBC，ADBC，ADBCBD，PBAPAB，PAPB，N是AB的中点，PNAB，ANP90，PABPAD90，PBAPBC90，PADPBC，PADPDA，PAPD.M是AD的中点，PMAD，PMA90，四边形PMAN是矩形，NPM90，ANPM，PNAM.EPF90，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.PNEPMF90，PNEPMF，.AD2AB，NE2MF.BENEBN，BE2MFBN，N是AB的中点，BNAB，BE2MFAB，故(1)中结论不成立；(3) 如解图，延长CD交FG于点H，设BE2a，则AF3a.BE
