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1、压轴24 直线的倾斜角与斜率一、单选题1. 曲线y=1+4x2(|x|2)与直线y=k(x2)+4有两个交点时，实数k的取值范围是A. (512,34B. 512,34C. 13,34D. 0,512【答案】A【解析】解：曲线y=1+4x2(|x|2)即x2+y12=4y1，表示以A0,1为圆心，以2为半径的圆位于直线y=1上方的部分(包含圆与直线y=1的交点C和D)，如图所示：直线y=kx2+4过定点B2,4，BC的斜率为kBC=412+2=34，当直线y=kx2+4与y=1+4x2(|x|2)相切时，设切点为E(E位于第二象限)，切线BE的斜率为k，k0，则切线BE的方程为y4=kx2，即
2、kx2y+4=0，根据圆心A到切线BE距离等于半径，可得2=1+42k1+k2，解得k=512，由图可知，当kkkBC时，曲线y=1+4x2(|x|2)与直线有两个交点，5120,b0)的左、右顶点，P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2的取值范围为A. (2ba,+)B. (ba,+)C. ba,+)D. ba,2ba)【答案】A【解析】解：由题意可得A(a,0)，B(a,0)，设P(m,n)，可得m2a2n2b2=1，即有n2m2a2=b2a2，可得k1k2=nm+anma=n2m2a2=b2a2，k1，k20，则k1+k22k1k2=2ba
3、，由A，B为左右顶点，可得k1k2，则k1+k22ba，故选A3. 点P(x,y)是曲线C：y=1x(x0)上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，|PA|=|PB|；OAB的面积为定值；曲线C上存在两点M，N使得OMN是等边三角形；曲线C上存在两点M，N使得OMN是等腰直角三角形，其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：设动点P(m,1m)(m0)，y=1x2，f(m)=1m2，过动点P(m,1m)的切线方程为：y1m=1m2(xm)分别令y=0，x=0，得A(2m,0)，B(0,2m)则|PA|=m2+1m2，|PB
4、|=m2+1m2，|PA|=|PB|，故正确；由上面可知：OAB的面积=122|m|2m=2为定值.即正确；过原点作倾斜角为15与75的两条射线与曲线交于M，N两点，由对称性可知，OMN是等边三角形，故正确；假设存在，设M(a,1a)，N(b,1b)，由题可得，MON90，不妨设OMN=90，则kOMkMN=1a21a1bab=1a3b=1,即a3b=1,b=1a3，则N(1a3,a3)，又由ON2=2OM2知，1a6+a6=2(a2+1a2)，整理得1a4+a4=3，令x=a4，则x23x+1=0，=940，故方程1a4+a4=3有实数根，故假设成立，即存在M，N，使OMN为等腰直角三角形，
5、正确故选D4. 若直线l：(mn)x(m+2n)y3(m2n)=0与曲线y=2+9x2有两个相异的公共点，则l的斜率k的取值范围是A. 37,+)B. (0,37C. (0,37)D. (37,247)【答案】B【解析】解：直线l：(mn)x(m+2n)y3(m2n)=0，整理变形为m(xy3)n(x+2y6)=0，解方程组xy3=0x+2y6=0得x=4y=1,直线l过定点A(4,1)，曲线y=2+9x2，变形为(y+2)2+x2=9(y2)，表示以(0,2)为圆心，半径为3的上半圆，如图，kAB=1+24+3=37，当直线l的斜率为0时，直线l与半圆相切，由题意，l的斜率k的取值范围是(0
6、,37故选B5. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为|x+y2=0与x7y4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A. 3B. 2C. 13D. 12【答案】A【解析】解：l1：x+y2=0，k1=1，l2：x7y4=0,k2=17，设底边为l3：y=kx 由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有k1k1+k1k=kk21+k2kk+1k1=7k17+k，解得k=3或k=13，因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3k=13，原点不在等腰三角形的底边上(舍去)，故选A6. 已知直线l与抛物线x2=4y交于A，B两点，OAOB=0(其中O为坐标原点).若OP=OA+
7、OB，则直线OP的斜率的取值范围是A. (,22,+)B. (,44,+)C. (,22,+)D. (,2222,+)【答案】D【解析】解：如图，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则P(x1+x2,y1+y2).依题意，OAOB=0，即x1x2+y1y2=0，即x1x2+x12x2216=0，即x1x2=16设直线OP的斜率为k，则k=y1+y2x1+x2=x12+x224(x1+x2)=(x1+x2)22x1x24(x1+x2)=x1+x24+8x1+x2，|k|=|x1+x2|4+8|x1+x2|2|x1+x2|48|x1+x2|=22，当且仅当|x1+x2|4=8|x1+x2|，即|
8、x1+x2|=42时等号成立，故k(,2222,+)故选D7. 已知直线l:ax4y+c=0与圆x2+y2=16相交于A,B两点，AOB=120(O为坐标原点)，且直线l与直线2x+y3=0垂直，则直线l的方程为A. x2y25=0B. x2y43=0C. 2x4y3=0D. 2x4y5=0【答案】A【解析】解：由于直线2x+y3=0的斜率k=2，直线l：ax4y+c=0的斜率为a4，而两直线垂直，所以2a4=1，即a=2，设圆心到直线l的距离为d，则d=4cos60=412=2，于是c25=2，解得c=45，故所求的直线方程为2x4y45=0，即x2y25=0故选A8. 已知P是椭圆x24+
9、y2=1上一动点，A(2,1)，B(2,1)，则cosPA,PB的最大值是A. 624B. 1717C. 1776D. 1414【答案】A【解析】解：如图：如图，设APB=，APC=,BPD=则tan=tan(+)=tan+tantantan1设P(x,y)，因为A(2,1)，B(2,1)所以tan=1yx+2,tan=1y2x，且x24+y2=1所以tan=1y2+x+1y2x1y2+x1y2x1=4(1y)(1y)2(4x2)=4(1y)(1y)24y2令1y=t，则y=1t,t0,2所以tan=4tt24(1t)2=4t3t2+8t4=48(3t+4t)4843=2+3，当且仅当3t=4
10、t即t=233时，取等号由tan2+3知，所以tan有最小值2+3，此时=75因此cos有最大值，且最大值为cos75=624故选A9. 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(xm)2+(ym6)2=2与圆C2：(x+1)2+(y2)2=1交于A，B两点，若|OA|=|OB|，则实数m的值为A. 1B. 2C. 1D. 2【答案】D【解析】解：圆C1:(xm)2+(ym6)2=2的圆心为C1(m,m+6)，圆C2:(x+1)2+(y2)2=1的圆心为C2(1,2)，若|OA|=|OB|，由等腰三角形的三线合一可得O在两圆的圆心的连线上，可得kC1C2=kOC2，即m+62m+1=21，解得m
11、=2故选：D10. 已知点P是曲线y=sin2x+lnx上任意一点，设直线OP的斜率为K(O为坐标原点)，则下列结论正确的是A. 至少有两个点P使得K=2B. 存在点P使得K1C. 有且只有一个点P使得K=0D. 对任意的点P都有K0)，则k=yx对于A，至少存在两个点P使得K=2，也就是sin2x+lnxx=2至少存在两解，即sin2x+lnx+2x=0至少存在两解，(sin2x+lnx+2x)=2cos2x+1x+20恒成立，所以sin2x+lnx+2x=0至多存在一解，所以A不成立；对于B，D，当x0时，一方面y=sin2x+lnxlnx+1，另一方面容易证lnx+1x成立，所以y=si
12、n2x+lnxx，因为y=sin2x+lnxlnx+1与lnx+1x中两个等号成立条件不一样，所以y=sin2x+lnxx恒成立，所以k1，因此B不成立，D正确；对于C，设f(x)=sin2x+lnx，f(e2)0，由零点存在判定定理，f(x)至少在(e2,1)和上各存在一个零点，所以至少有两点，所以C不正确综合以上分析可得选项D正确故选D二、填空题11. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_【答案】15【解析】解：椭圆x29+y25=1的a=3，b=5，c=2，设椭圆的右焦点为F，连接
13、PF，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆上，连接AO，可得|PF|=2|AO|=4，PFF中，PF=6PF=2，FF=4，PF=4，由余弦定理得cosPFF=PF2+FF2PF22PFFF=42+2242224=14，sinPFF=1(14)2=154，tanPFF=15，即直线PF的斜率为15故答案为1512. 已知实数a12,b12，且a2a=bb2，则M=b2a+a2b的最大值是_【答案】322+1【解析】解：实数a，b12，且a2a=bb2，可得(a12)2+(b12)2=12，即有点(a,b)在以(12,12)为圆心，22为半径的14圆上，如图所示：且A(12,12+22)，B(12+22,12)，由a2+b2=a+b，可得M=b2a+a2b=a3+b3ab=(a+b)(a2ab+b2)ab=(a+b)2ab(a+b)ab=ab+ba(a+b)+2，由a+b经过A，B时，a+b取得最小值1+22；由k=ba表示点(0,0)与(a,b)的斜率，可得k21,2+1，可得ba+ab的最大值为2+1+21=22，则M的最大值为22(1+22)+2=322+1故答案为322+113. 已知函数f(x)=ex,x1,x2+4x3,1x3.，若函数g(x)=f(x)k|x+1|
