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1、初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图： 数 二、 绝对值的意义： (1) 几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a| 。 (2) 代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零。 也可以写成： |0 aa aa aa 当 为正数 当 为0 当 为负数 说明： （） |a| 0 即|a| 是一个非负数； （） |a| 概念中蕴含分类讨论思想。 三、 典型例题 例 1 （数形结合思想）已知a、 b、c 在数轴上位置如图： 则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |
2、的值等于 （ A ） A -3a B 2c a C2a2b D b 解： | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号 时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例 题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而 去掉绝对值符号，完成化简。 例 2已知：zx0，0 xy，且xzy， 那么yxzyzx 的值（C ） A是正数B是负数C是零D不能确定符号
3、解：由题意， x、y、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助 数轴直观、轻松的找到了x、y、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没 有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例 3 （分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于 原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符 号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数
4、，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：yx3， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若 x 在原点左侧， y 在原点右侧，即x0，则4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6 若 x 在原点右侧， y 在原点左侧，即x0，y0，则-4y=8 ，所以 y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若 x、y 在原点左侧，即x0，y0，y0，则2y=8 ，所以 y=4,x=12 例 4 （整体的思想）方程xx20082008的解的个数是（D ） A1 个B2 个C3 个D无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008 看成一个
5、整体，问题即转化为求方程aa的 解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数 都是方程的解，即本题的答案为D。 例 5 （非负性）已知|ab2|与 |a 1|互为相互数，试求下式的值 1111 112220072007abababab L 0 )()(yxzyzx yxzyzx 1)1(xx 20102008 1 86 1 64 1 42 1 分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得： a=1,b=2 于是 1111 112220072007abababab L 2009 2008 2009 1 1 2009 1 2008
6、 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 20092008 1 43 1 32 1 2 1 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果同学们可以再深 入思考， 如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以 在课下继续探究。 例 6 （距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4 与2， 3 与 5，2与6，4 与 3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_相等. （2）若数轴上的点A 表示的数为x，点 B 表示的数为 1，则 A 与 B 两点间的距离 可以表示为 分析：点B表示的数为1，所以我们可以在数轴
7、上找到点B 所在的位置。那么点A 呢？因为x 可 以表示任意有理数，所以点A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A 与 B 两点间的 距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。 当 x-1 时，距离为 -x-1, 当-1x0，距离为x+1 综上，我们得到A 与 B 两点间的距离可以表示为1x （3）结合数轴求得23xx的最小值为5 ，取得最小值时x 的取值范围为-3x_ 2_. 分析：2x即 x 与 2 的差的绝对值，它可以表示数轴上x 与 2 之间的距离。 )3(3xx即 x 与-3 的差的绝对值，它也可以表示数轴上x 与-3 之间的距离。 如图， x 在数轴上的位置有三种
8、可能： 图 1 图 2 图 3 图 2 符合题意 （4） 满足341xx的x的取值范围为x-1 分析：同理 1x 表示数轴上x 与-1 之间的距离， 4x 表示数轴上x 与-4 之间的距离。本题 即求，当x 是什么数时x 与-1 之间的距离加上x 与 -4 之间的距离会大于3。借助数轴，我们 可以得到正确答案：x-1。 说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离 问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， BA 表 示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数 B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利 用这一
9、结论并结合数轴的知识解决了（3） 、 （4）这两道难题。 四、 小结 1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用 第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接 1 “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次 根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。 2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基 础。 二、典型例题 例 1若多
10、项式xyxxxmx537852 222 的值与 x 无关， 求mmmm452 22 的值 . 分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零 因为8382537852 2222 yxmxyxxxmx 所以m=4 2008 20071 2007 2007 20072 2 223 23 aa aaa aa 2008 20071 2007 20072 20072)1 ( 20072 20072 2 22 2 22 23 aa aaa aaa aaa aa 将 m=4 代人，44161644452 222 mmmmmm 利用“整体思想”求代数式的值 例 2x=-2 时，代数式6 35 cxbxax
11、的值为 8，求当 x=2 时，代数式6 35 cxbxax的值。 分析：因为86 35 cxbxax 当 x=-2 时，86222 35 cba得到86222 35 cba， 所以1468222 35 cba 当 x=2 时，6 35 cxbxax=206)14(6222 35 cba 例 3当代数式53 2 xx的值为 7 时, 求代数式293 2 xx的值 . 分析：观察两个代数式的系数 由753 2 xx得23 2 xx，利用方程同解原理，得693 2 xx 整体代人，4293 2 xx 代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体 代人的方法就
12、是其中之一。 例 4 已知01 2 aa，求20072 23 aa的值 . 分析：解法一（整体代人）：由01 2 aa得0 23 aaa 所以： 解法二（降次） ：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。 由01 2 aa，得aa1 2 ， 所以： 解法三（降次、消元） ：1 2 aa（消元、减项） 2008 20071 2007 2007)( 2007 20072 2 22 223 23 aa aaaa aaa aa 例 5 （实际应用） A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资 待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200
13、 元； B 公司，半年薪五千元，每半年 加工龄工资50 元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？ 分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元） 第一年： A 公司10000； B 公司5000+5050=10050 第二年： A 公司10200； B 公司5100+5150=10250 第 n 年： A 公司10000+200(n-1） ； B 公司： 5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50 =10050+200(n-1) 由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多 50 元，如不细心考察很可能选错。 例 6三个数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且 bc
14、bc ac ac ab ab c c b b a a x， 则1 23 cxbxax的值是 _ 。 解：因为 abc0，所以 a、b、c 中只有一个是负数。 不妨设 a0，c0 则 ab0，ac0 所以 x=-1+1+1-1-1+1=0将 x=0 代入要求的代数式，得到结果为1。 同理，当b0，c0 时，即 x 5 2 ，5x-2=3， 5x=5， x=1 因为 x=1 符合大前提x 5 2 ，所以此时方程的解是x=1 当 5x-2=0 时，即 x= 5 2 ，得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解 当 5x-20 时，即 x 5 2 ，5x-2= -3，x= 5 1 因为 x= 5 1 符合大
15、前提x0 时，即 x1， x-1=-2x+1 ， 3x=2，x= 3 2 因为 x= 3 2 不符合大前提x1，所以此时方程无解 当 x-1=0 时，即 x=1，0=-2+1， 0 =-1，此时方程无解 当 x-10 时，即 x1，1-x=-2x+1 ，x=0 因为 x=0 符合大前提xAD B.ACBD D. CD3 10. 如图所示 ,L1,L2,L3交于点 O,1=2, 3: 1=8:1, 求 4 的度数 .( 方程思想 ) 答案： 36 11 如图所示 , 已知 AB CD,分别探索下列四个图形中P与 A,C的关系 ,? 请你从所得的四个 关系中任选一个加以说明. P DC B A P
16、 DC B A P DC BA P D C BA (1) (2) (3) (4) （1）分析：过点P 作 PE/AB APE+A+ C=360 （2） P=A+ C （3） P=C-A, （4） P=A-C 12如图，若AB/EF ， C= 90，求 x+y-z 度数。 分析：如图，添加辅助线 证出： x+y-z=90 1 2 3 13已知：如图，BAPAPD18012 ， 求证：EF 分析：法一 法二：由AB/CD 证明PAB=APC， 所以EAP=APF 所以 AE/FP 所以EF 第七讲：平面直角坐标系 一、知识要点： 1、特殊位置的点的特征 （1）各个象限的点的横、纵坐标符号 （2）坐标轴上的点的坐标：x轴上的点的坐标为)0,(x,即纵坐标为0; y轴上的点的坐标为),0(y，即横坐标为0; 2、具有特殊位置的点的坐标特征 设),( 111 yxP、),( 222 yxP 1 P、 2 P两点关于x轴对称 21 xx，且 21 yy; 1P、2P 两点关于y轴对称 21xx ，且 21yy ; 1 P、 2 P两点关于原点轴对称 21 xx，且 21 yy。 3、距离 （1）点
