《利用三角形相似测量高度》优质课一等奖教案

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1、利用相似三角形测量高度 第 1 课时 本节课的主要设计方法： 1、让学生课上先自主学习了解本节课的主要内容。 2、学生通过自主学习后进展短暂的讨论与展示。 3、分小组分方法，然后小组展示相互学习共同提高。 4、小组合作完成当堂检测。 教学目标 知识与技能 1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度. 2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问 题. 过程与方法 1.经历动手作图的过程,提高学生将实际问题转化为数学问题,以及用相似三角形解决问题 的能力. 2.把实际问题转化为数学问题,开展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题

2、的能力. 3.在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论. 情感态度与价值观 1.在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会 数学的价值. 2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力. 3.积极参与课堂活动, 在活动中使学生积累经历,感受成功的喜悦,激发学生学习数学的热 情与兴趣. 教学重难点 【重点】 利用相似三角形的性质解决高度测量问题. 【难点】 将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题. 教学准备 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P3940. 教学过程 一、新课导入 导入一:

3、 【复习提问】 (1)什么是相似三角形及相似比? (2)判定三角形相似的方法有哪些? (3)相似三角形的性质是什么? 【师生活动】 学生答复下列问题,教师点评. 导入二: 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一.塔的 4 个斜 面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,边长约为 230 米.据考证,为建成大金字塔,共动用了 10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高 度有所降低. 在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说: “听说你什么都知 道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!这在当时条件

4、下是个大难题,因为是很难爬到 塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗? 【师生活动】 学生欣赏金字塔图片,大胆联想泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的?初步了 解本节课内容.教师展示图片,通过泰勒斯测量金字塔的高度问题引入课题. 设计意图 以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生 的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义. 自主学习：自主学习： 1自学内容：教材 P39-P40 2自学时间：8 分钟. 3自学方法：探究、思考、归纳、总结. 要求：在自己认为重要和不懂的地方做不同的标记要求：在自己认为重要和不懂的地方做不同的标记 二、二、思考探究，思考探究，自学展

5、示，自学展示，获取新知获取新知 包括两个方面：包括两个方面：1 1 学生之间的相互交流学生之间的相互交流 2 2 个人展示成果个人展示成果 新知识的形成 过渡语 泰勒斯到底用什么方法得出了金字塔的高度呢?这就是我们今天学习的内容. 一、测量旗杆的高度 【问题】 如何测量操场上旗杆的高度? 思路一 【思考】 (1)在同一时刻,物体的高度和影长有什么关系? (2)在操场上竖立一根长 1 米的标杆,画出同一时刻旗杆和木杆的影长. (太阳光线看作是平行的) (3)通过测量影子的长度,你能得到旗杆的高度吗? 【师生活动】 学生独立思考后画出图形,小组内交流测量旗杆的方法和思路,教师巡视过 程中帮助有困难

6、的学生. 解:如下图,测得同一时刻旗杆的影长 AB=a,标杆的影长为 EF=b. 由题意可得B=F=90,ACDE, A=E,ABCEFD, AB EF CB DF = BC= EF DFAB . 【归纳】 在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例. 【追问】 你还有其他方法求旗杆的高度吗? 思路二 【小组讨论】 用什么方法可以测量操场旗杆的高度? 【师生活动】 学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形表达测量的方法和思路, 教师归纳测量的方法. (1)升降旗杆上有绳子,测量升降旗杆上的绳子长度算出旗杆的高度. (2)因为太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时

7、刻测出旗杆和标杆的影 长,根据相似三角形的性质可求出旗杆的高度. (3)在旗杆和人之间放一面镜子,移动镜子的位置,使人能看到旗杆顶端在镜子中的像,根据 入射角等于反射角,利用三角形相似求出旗杆的高度. (4)将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标 杆高度,利用三角形相似求出旗杆的高. (5)有人提到用建立平面直角坐标系，求直线解析式的方法来求。 用三角形相似可以求旗杆的高度,常用的方法有: 【课件展示】 (1)如下图,同一时刻物高与影长构成直角三角形. (2)如下图,利用平面镜构造直角三角形. (3)如下图,观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.

8、设计意图 解决生活实际问题求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,思路一是在 教师问题的引导下,学生进展分析、 探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解,然后 归纳结论. 思路二是提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量旗杆高度的多种 方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力. 小明想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长 0.9 m,但当他马 上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不会全落在地面上,有一局部影子在墙上,如下图,他 先测得留在墙上的影高 1.2 m,又测得地面局部的影长 2.7 m,求树高是多少. 【师生活动】 学生在

9、教师的引导下独立思考,画出示意图,小组合作交流,共同探索解决方 法,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的小组,及时发现各小组不同的解题思 路,鼓励学生用不同方法解决问题. 解法 1:如下图,过 D 作 DEAB 于点 E, 根据题意,得四边形 BCDE 是矩形, BE=CD=1.2,DE=BC=2.7, 某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长为 0.9 m, 9 . 0 1 = ED AE AE=3,AB=AE+BE=3+1.2=4.2(m). 答:树高为 4.2 m. 解法 2:如下图,延长 AD,BC 交于点 E. 某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长为 0.9 m,墙上的影高 C

10、D 为 1.2 m, 9 . 0 1 = BE CE CE=1.08(m), BE=1.08+2.7=3.78(m), ABBC,DCBC, ABDC, EDCEAB, 9 . 0 1 = BE CE AB CD 解得 AB=4.2(m). 答:树高为 4.2 m. 解法 3:如下图,过点 C 作 CEAD 交 AB 于点 E, AECD,ECAD, 四边形 AECD 是平行四边形, AE=CD=1.2 m, 又在平行投影中,同一时刻物高与影长成比例, 9 . 0 1 = BC BE =. 即 BE=2.7=3(m). AB=AE+EB=1.2+3=4.2(m). 答:树高为 4.2 m. 注

11、：还有名同学说以 BC 和 AB 建立平面直角坐标系，可以通过测量知道 C 点的坐标，E 点的 坐标，通过求出 AD 的直线的解析式再当 Y 为 0 得到 AB 的长。 学生的思维得到拓展： 【归纳】 (1)求树高常用的方法:根据相似三角形对应线段成比例,列方程求解即可;在同一时 刻,物体的实际高度和影长成比例,据此列方程即可求解. (2)求树高常用的辅助线:作垂直,构造相似三角形;作平行,构造相似三角形;延长两 条直线相交,构造相似三角形. 3建立平面直角坐标系，利用函数的方法来求解。虽然没有利用相似但是学生的方法值 得肯定。 设计意图 引导学生将墙上的局部进展转化,建立相似三角形模型,通过

12、拓展问题引导学生 自主学习与合作交流相结合,进一步加强对相似三角形的应用的理解和掌握,通过引导学生多 角度思考问题,培养学生的发散思维能力,提高应用意识. 知识拓展 利用相似三角形解决实际问题的关键是根据题意画出图形,将实际问题转化为 数学问题,建立数学模型求解. 二、例题讲解 过渡语 我们用多种方法可以求操场上旗杆的高度,那么我们能不能用类似的方法求 出金字塔的高度呢? (教材例 4)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在 金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 如下图,木杆 EF 长 2 m,它的影长 FD 为 3 m,

13、测得 OA 为 201 m,求金字塔的高度 BO. 【教师引导分析】 (1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗? (由太阳光线平行得BAO=EDF,又AOB=DFE=90,得三角形相似) (2)如何求 OA 的长? (金字塔的影子是等腰三角形,那么 OA 等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的 和) (3)写出你的求解过程. 【师生活动】 学生在教师的引导下分析答复,独立完成证明过程,学生板书,教师点评. 解:太阳光线是平行光线, 因此BAO=EDF.又AOB=DFE=90, ABODEF. =, BO=134(m). 因此金字塔的高度为 134 m. (教材例 5)如下图,为

14、了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点 P,在近岸 取点 Q 和 S,使点 P,Q,S 共线且直线 PS 与河岸垂直,接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择 适当的点 T,确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R.测得 QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m, 请根据这些数据求河宽 PQ. 解析 (1)图中的两个三角形是不是相似三角形?(由PQR=PST=90,P=P 可得PQR PST)(2)根据相似三角形的根本性质能不能得到关于河宽 PQ 的比例线段?(3)能不能用方程 思想解出 PQ 的值? 【师生活动】 学生在教师的引导下独立思考,再完成

15、解答过程,然后小组交流答案,学生代 表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,标准解答过程. 解:PQR=PST=90,P=P, PQRPST. ST QR PS PQ = 即 ST QR QSPQ PQ = + PQ90=(PQ+45)60. 解得 PQ=90(m). 因此,河宽大约为 90 m. 【追问】 你还有其他的测量河宽的方法吗? 【师生活动】 学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以. 如下列图也可以应用相似三角形性质测量河宽. 设计意图 通过解决不能直接测量的物体的高度和宽度问题,让学生在解决实际问题的过 程中学会建立数学模型,通过建

16、模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学习和 合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力 和发散思维能力. 知识拓展：知识拓展： 利用相似三角形进展测量的一般步骤:利用平行线、标杆等构成相似三角形;测量与表 示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度;画出示意图,利用相 似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量;检验并得出答 案. 课堂小结 1.测量不能直接测量的物体的高度:通常用同一时刻物高与影长成比例解决. 2.测量不能直接测量的两点间的距离:通常构造直角三角形相似求解. 当堂检测 1.小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长 BA 为 15 米,如下图,然后在 A 处树立一 根高 2 米的标杆,测得标杆的影长 AC 为 3 米,那么楼高为 ( ) A.10 米 B.12 米 C.15 米 D.22.5 米 解析:在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳 光线三者构成的两个直角三角形相似. 因此=,即=,楼高=10(米).应选 A. 2.如下图的是一