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1、中考数学专项练习第5讲 分式方程本讲目标：解分式方程，增根、无解、解的正负求参数， 例题设置：1.例1定义，例2解分式方程，例3技巧方程2.例4增根，例5无解，例6正负性一、分式方程的概念及解法知识导航概念分母中含有未知数的方程核心化分式方程为整式方程步骤示例因式分解：分母中能因式分解的先分解解方程：解法去分母：化分式方程为整式方程，即在方程的两边同时乘以最简公分母解：原方程即： 方程两边同时乘以解之得：检验：将代入，得解整式方程验根：将整式方程的根代入最简公分母中，检验是否为0原分式方程的解为注意解分式方程一定要验根，即排除增根，所谓增根是指使原分式方程分母为0的未知数的值经典例题例题115
2、 / 15判断下列方程是否是分式方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） （ 为字母系数）（9） （ 为字母系数）（10） 答案 解析分式方程有（3）、（5）、（7）、(8)、（10） 略 标注方程与不等式 等式与方程 方程 题型：方程的判断例题2解方程：；;(1)(2)(3)(4) 答案(1)(2).原分式方程无解(3).(4). 解析(1)(2)(3)方程两边同时乘以，得解之得，,检验：将代入，原分式方程的解为 原方程即方程两边同时乘以，得解之得，检验：将代入，原分式方程无解 原方程即：方程两边同时乘以，得解之得，检验：时，原分式方程的解为(4) 方程两边都乘以得检验：当时，是
3、原方程的解， 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：解可化为一元二次方程的分式方程例题31解方程： 答案或 解析方程可化为：即故， 即故或者经检验，均是原方程的解 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：解可化为一元二次方程的分式方程2解方程： 答案 解析原方程可化为：故，经检验，是原方程的解 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程二、分式方程的解分式方程的解常见题型解法示例已知分式方程有增根，求参数值分式方程化为整式方程令最简公分母为 ，求出增根将增根代入整式方程若关于 的分式方程值解：去分母得入得 有增根，求 的将增根为，代已知分式方
4、 程 无 解，求参数值分式方程化为整式方程后，包含两种情况：分式方程的解为增根整式方程无解， 即，若，则当且时无解若关于 的分式方程无解，求 的值 解：去分母得，整理得（*）方程（*）当时无解，此时 ，原方程亦无解；方程（*）当时有解，要使原分式方程无解， 需满足方程（*）的解是原方程的增根，原方程可能的增根为 或 ，方程（*）仅当 可解得 ；综 上 或 已知分式方程根的情况，求参数范围求得分式方程的解根据解的情况列不等式一定要排除增根若关于 的方程围解：由得且增根为， 的解为正数，求 的取值范，即且例题41若方程有增根，则它的增根是 答案 解析方程两边都乘，得，由最简公分母，可知增根可能是或
5、 当时，当时，得到，这是不可能的， 所以增根只能是 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：分式方程的増根问题2若关于 的分式方程有增根，则 的值为 答案 解析方程两边都乘，得原方程有增根，最简公分母， 解得，当时， 故 的 值 是 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：分式方程的増根问题3若关于 的分式方程：有增根，则 的值为 答案或 解析略 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：分式方程的増根问题例题51若关于 的分式方程无解，则 的值为 答案 解析去分母得，原方程无解，则， 的 值为故答案为： 标注方程与不等式 分式方程 分
6、式方程的解与解分式方程 题型：分式方程的无解问题2若关于 的分式方程无解，则 答案 解析或去分母得，整理得（ ）方程（ ）当时无解，此时，原方程亦无解方程（ ）当时有解，要使原分式方程无解，需满足方程（ ）的解是原方程的增根，原方程可能的增根为，即；综上或 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：分式方程的无解问题例题61已知关于 的分式方程的解是非负数，则 的取值范围是 答案且 解析去分母得，解得，由题意得， 解得，是分式方程的增根，所有当时，方程无解，即， 所以 的取值范围是且 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：由分式方程的解确定参数2当 为何
7、值时，关于 的方程的解为负数？ 答案 解析且由得且增根为或，且 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：由分式方程的解确定参数三、数学趣事哪吒智斗与猪八戒路遇哪吒:八戒正往前走，忽听背后有人叫他：“老猪，好自在啊！”八戒回头一看，是托塔天王的三太子哪吒。八戒摇晃着脑袋说：“这不是那个三头六臂的妖精吗？”哪吒听八戒叫他妖精，勃然大怒，大喝一声：“变！”随即变做三头六臂，6只手分别拿着6件兵器： 斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿、火轮儿，恶狠狠地朝八戒打来。八戒不敢怠慢，舞动钉耙迎了上去，两人“叮叮当当”地打了起来。过了一阵子哪吒见没占到便宜，又喊了一声：“换！”6只手拿
8、着的兵器立刻交换了一下位置。就这样哪吒不断变换着兵器的拿法，可把八戒打晕了。八戒连连摆手说：“不打啦，不打啦，我说你这6只手一共有多少种不同的拿法？”“720种！”哪吒神气活现。“吹牛！”八戒把大嘴一撇说，“有个二三十种我还信，720种？你别骗我啦！”哪吒让5只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿，对八戒说：“你看，我5只手拿的兵器固定不变，这时我第6只手只有拿火轮儿这一种拿法。”八戒点点头说：“嗯，不错，就一种拿法。”哪吒又让4只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵，这时第5、6只手可以轮换拿绣球儿、火轮儿，共有两种拿法。哪吒再让3只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索，而另3只
9、手变换出以下6种拿法： 降妖杵、绣球儿、火轮儿；降妖杵、火轮儿、绣球儿； 绣球儿、降妖杵、火轮儿； 绣球儿、火轮儿、降妖杵； 火轮儿、绣球儿、降妖杵； 火轮儿、降妖杵、绣球儿。八戒摸摸脑袋说：“这要是6只手都随便拿可怎么个排法呀？还不排晕喽！”哪吒笑骂着：“真是个呆子！你观察一下下面的3个数：11，2=12，6123。由此推想：如果固定两只手，而剩下的4只手随意拿，可有123424种拿法。而6只手都随意拿呢？有123456720种不同拿法。”八戒向哪吒一拱手：“你的变化真多，我服了。”四、巩固加油站巩固1下列方程，其中是分式方程的有（）A. B. C. D. 答案D 解析略 标注方程与不等式
10、分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：判断分式方程的解巩固2解方程： 答案 解析原方程无解方程两边同乘， 得，整理得，解得，检验：当时，是增根，应舍去，原方程无解 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程巩固3解方程： 答案 解析原方程即，方程两边同时乘以，得， 解之得，检验：将代入，原分式方程的解为 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程巩固4解方程： 答案 解析，原方程可化为，化简，得所以，所以检验：把代入原方程中的每一个分母，各分母均不为零 所以是原方程的根 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：解可化为一元一次方程的分式方程巩固5解方
11、程： 答案 解析方法一：解法一： 方程两边分别通分得，经检验，是原方程的解解法二：可将与调换位置，变为， 再左右两边通分解法三：将分式分离常数，原方程为， 再解分式方程，更为简单方法二：，检验：当时，是原方程的解 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程巩固6已知关于 的方程有增根，则 答案 解析方程两边都乘以，得，将增根代入，得 方程两边都乘，得，化简，得，原方程有增根，最简公分母， 解得，当时， 故答案为：4 标注方程与不等式 分式方程 分式方程的解与解分式方程 题型：分式方程的増根问题巩固7解分式方程产生增根，求 的值 答案 解析或方程两边都乘以得， 若分式方程产生增根，则，解得或，当时，解得，当时，解得， 的值为 或 标注方程与不等式
