《因果推断实用计量方法》大学教学课件第10章工具变量

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1、第10章：工具变量,大纲,工具变量估计法的直观理解 工具变量两阶段估计法 工具变量估计法的局限性 工具变量估计的检验 工具变量使用步骤和常见问题,工具变量估计法的直观理解,工具变量的作用,如果我们直观地认为处置变量 变化中和干扰项相关的部分为“坏的变化”, 和干扰项不相关的部分为“好的变化”。 工具变量的方法就是将处置变量中“好的变化”分离出来，并只用“好的变化“部分去估计处置变量对被解释变量的因果影响。,通过工具变量清理内生变量以解决内生性问题,工具变量，顾名思义，不同于解释变量，它是帮助我们找到因果关系的工具。 工具变量方法解决内生性走的是另一条途径：它先“清理”掉内生处置变量中和干扰项相

2、关的变化（“坏”的变化），再用和干扰项不相关的变化（“好”的变化）去估计对的作用。,工具变量的要求,一个能达到清理内生变量的工具变量需要“有用”并且“干净”。 要清理出好的部分，本身必须是干净的，( , )=0。我们称这个条件为“外生性”（Exogeneity） 能够清理内生变量， 必须和相关，即( , )0，如果二者不相关，它的变化信息没法帮助我们分离出D “好”的变化，是“没用的”工具变量。,估计方法1：间接最小二乘法（Indirect Least Squares）,假设结果方程为： =+ 1 + （1） 是内生变量， , 0 ， 内生变量和工具变量的回归关系如下： = 0 + 1 + （

3、2） 将方程（2）带入方程（1），得到： =+ 1 0 + 1 + + = 1 0 0 + 1 1 1 + 1 + 可见工具变量和被解释变量的的关系如下 = 0 + 1 + ，,估计方法1：间接最小二乘法（ILS）, 1 = 1 1 ， 它的意思是 对的作用 1 = (对的作用) 1 (对的作用) 1 。 因此，要得到对的作用的系数 1 ，我们可以用下面关系得到: （对的作用）= （对的作用） （对的作用） 1 = 1 1,估计方法1：间接最小二乘法（ILS）,从回归方程: = 0 + 1 + 得到： 1 =( , )/ 从回归方程: = 0 + 1 + 得到： 1 =( , )/( ) 代入

4、 1 = 1 1 ，我们得到间接最小二乘法的系数估计量 。 1 = ( , )/( ) ( , )/( ) = ( , ) ( , ),估计方法2：两阶段最小二乘法(Two Stages Least Square, 2SLS),第一阶段通过工具变量 将 分解为两个不相关的变量， = + ，其中 = 0 + 1 , 分解可以通过将 对 回归，得到: = + = 0 + 1 + 回归分解后 , =0，因此 , =0， 也和不相关, 是 中“好的部分”。,估计方法2：两阶段最小二乘法（2SLS）,第二阶段用中“好的部分” 估计对的影响，将分解后的代入公式，得到： =+ 1 + =+ 1 + + =+

5、 1 + + 由于 = 0 + 1 与 和 都不相关，因此 ( , )=0，对回归可以得到正确的 1,估计方法2：两阶段最小二乘法（2SLS）, 1 2 = , = , 0 + 1 0 + 1 = 1 , 1 2 = , 1 = , , = , , 我们看到两阶段最小二乘法 1 2 得到的系数和间接最小二乘法得到的系数 是一样的, 1 2 = 1 = ( , ) ( , ),工具变量数量,识别不足：工具变量的数量内生变量的数量。这两种方法都没法估计出模型中内生变量的系数 1 。 刚好识别：工具变量数量=内生变量数量。模型中内生变量的系数可以得到唯一的估计值，比如模型只有一个内生变量和一个工具变

6、量，ISL法和2LSL法将得到相同的唯一解。,工具变量数量,过度识别：工具变量数量内生变量数量。如果分别使用不同工具变量，会得到不同的 1 估计值。 2SLS提供了一个多工具变量的“最佳组合“方法。它通过第一阶段的回归找到两个工具变量的线性组合 1 1 + 1 2 来最佳地拟合，即通过回归方程： = 0 + 1 1 + 2 2 + 。 第二阶段将 对 回归： =+ 1 + 。 由于 和 不相关，得到 1 2 是 1 一致估计量。,工具变量两阶段估计法,模型设置,我们要估计的结果模型是： =+ 1 1 + 2 2 + + 其中 1 是一个内生变量，Cov 1 , 0， 2 , 是其他外生变量。

7、1 有一个工具变量 1 。,合理的工具变量需要满足的条件,外生性（干净）： 1 和结果模型中的干扰项 不相关， 1 , =0，即当控制了模型里所有解释变量（包括内生变量和其他外生变量变量）对 的作用后， 对 没有作用。 相关性（有用）：在内生变量 1 和工具变量 1 和其它外生变量的回归关系中， 1 = 0 + 1 1 + 2 2 + + ， 工具变量的系数 1 0。即当控制了模型里所有外生变量和 1 的相关性后， 1 和 1 仍然存在相关性。具体而言，,合理的工具变量需要满足的条件,模型估计：一个内生变量和一个工具变量,第一阶段：将内生变量对工具变量和所有外生变量做回归 1 内生变量 = 0

8、 + 1 1 工具变量 + 2 2 + 所有的外生变量 + 用得到的估计系数 ( 0 , 1 , 2 , )计算内生变量的预测值： 1 = 0 + 1 1 + 2 2 + 。 这个预测值 1 不和 相关，它是 1 中“好”的变化部分。,模型估计：一个内生变量和一个工具变量,第二阶段：将预测值 1 替代结果模型中的内生变量 1 并进行回归 =+ 1 1 预测值 + 2 2 + 所有的外生变量 + 得到 1 的系数 1 2 称为样本两阶段最小二乘法（2SLS）系数。 由于在第二阶段回归中只使用了 1 中和干扰项不相关的“好”的变化部分 1 ，因此得到的 1 2 是系数 1 的一致估计量 1 2 =

9、 1 。,模型估计：多个内生变量和多个工具变量,2SLS可以很方便地处理有多个内生变量和多个工具变量的情况。 假设我们要估计的模型是： =+ 1 1 + 2 2 + 3 3 + + 其中 1 和 2 是内生变量。 1 有个工具变量 1 ， 2 有两个工具变量 2 和 3 。,模型估计:多个内生变量和多个工具变量,第一阶段：将每个内生变量单独对所有工具变量和所有其它外生变量做回归： 1 内生变量 = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 所有工具变量 + 4 3 + +1 所有其他外生变量 + 1 2 内生变量 = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 所有的工具变量 + 4 3 + +1

10、所有其他外生变量 + 2 用得到的系数计算每个内生变量的预测值： 1 = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 3 + +1 2 = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 3 + +1 ,模型估计:多个内生变量和多个工具变量,第二阶段：用内生变量的预测值替代结果模型中的内生变量并进行回归 =+ 1 1 + 2 2 预测值 + 3 3 + 所有的外生变量 + 得到 1 和 2 的2SLS估计系数 1 2 和 2 2 是 1 和 2 的一致估计量。,工具变量估计法的局限性,理解工具变量估计法的局限性,为方便我们理解工具变量估计法的局限性，我们考虑简单的单变量两阶段模型 =+ 1

11、 + = 0 + 1 + 其中 是内生变量， 是工具变量。 系数 1 的样本两阶段估计量 为 1 2 = ( , ) ( , ),大样本下的局限性 （偏差性）, 1 2 的大样本概率极限值为： 1 2 = ( , ) ( , ) = 1 + ( , ) ( , ) = 1 + , , 2SLS大样本偏差项 当工具变量是完全外生，即 , =0，2SLS大样本偏差项为0， 1 2 是一致估计量 (当样本足够大，估计量趋近真实值）。,大样本下的局限性 （偏差性）, 1 2 = 1 + , , 2SLS大样本偏差项 但如果工具变量不是完全是外生的， , 0，即使偏差项的分子 , 很小，如果工具变量和内

12、生变量的相关性很小，即偏差项里的分母 , 很小，这个偏差也会被放得很大。 和内生变量相关性很小的工具变量称为弱工具变量。,大样本下的局限性（精准性）,工具变量两阶段估计量 1 2 是渐近正态分布的， 1 2 N 1 ,Avar 1 2 。 在同方差情况下，其渐进方差为： Avar 1 2 = 2 2 2 其中 2 和 2 分别是干扰项e和内生变量D的方差， 是工具变量和内生变量的相关系数 = Cov D , ，,大样本下的局限性（精准性）,如果不考虑内生性而直接使用OLS估计，得到的系数的渐进方差为： 1 = 2 2 对比 1 2 和 1 的方差，得到： Avar 1 2 1 = 1 2 1,

13、比较 1 2 和 1 在大样本下的精准性,工具变量估计量的方差总是大于OLS估计值的方差 在弱工具的情况下，工具变量和内生变量的相关系数 很小，因此能分解出的内生变量“好”的信息很少，工具变量估计系数 1 2 的估计精确度很低，造成方差Avar 1 2 很大。,有限样本下的局限性 （偏差性）,在有限样本里，2SLS估计量 2 是有偏的估计量（估计量的期望值不等于真实值），E( 1 2 ) 1 。 Hahn和Hausman（2002）给出了在有限样本里， 1 2 的偏差 1 2 偏差= 1 2 1 = 1 2 1,有限样本下的局限性 （精确性）,在有限样本里，我们不知道 1 2 的分布。 样本方

14、差 ( 1 2 )在有限样本通常偏小，尤其是当工具变量是弱工具变量。这意味着如果使用 ar 1 2 进行t检验我们会过于容易拒绝原假设而得到“显著”结果。因此通常使用的t检验在小样本里不适用。,工具变量的局限性,要注意样本数量。 2SLS的估计系数 1 2 只有在大样本里是一致的，在小样本里是有偏的。 除非确定有内生性，否则应避免使用工具变量估计 避免使用弱工具变量。,工具变量估计的检验,是否需要使用工具变量？（内生性检验）,Durbin-Wu-Hausman 2 检验 通过比较工具变量估计值 1 2 和OLS估计值 1 来检验变量外生性的方法。 0 : 是外生的，检验统计量： H= 1 2

15、1 ( 1 2 )( 1 ) 1 ( 1 2 1 ) 2 在原假设下OLS和工具变量得到的参数估计量是一致的，因此 1 2 1 和H值应该接近零。,内生性检验的局限性,检验一个变量是否是外生的前提条件是我们有一个有效的工具变量（满足相关性和外生性），如果工具变量本身不是有效的，检验出来的结果是无效的。,工具变量是否满足相关性？(弱工具变量检验),如果只有一个内生变量，一个简单的检验方法就是观察2SLS中第一阶段的关于所有工具变量的系数同时为0的F检验。当工具变量数量为1，2，3，5，10时，Stock, Wright, and Yogo (2002)建议第一阶段的F统计量的关键值设为8.96，

16、11.59，12.83，15.09和22.88。如果第一阶段的F检验值低于这些关键值，则可能存在弱工具变量问题。,工具变量是否是外生的？（过度识别检验）,恰当识别（工具变量的数量=内生变量的数量）情况下，我们无法对外生性假设进行检验。 因为要检验Cov , e =0, 由于 e 观测不到，我们必须先估计 e i ，再用的它估计值 检验Cov , e =0。但是当我们去估计 = 1 时，我们需要满足外生条件的工具变量才能得到一致的估计值 1 ，从而得到一致的估计量 。因此通过Cov , e =0检验工具变量是否外生是没有意义的，因为要得到一致的估计量 1 ，我们已经假设了工具是外生的。,工具变量是否是外生的？（过度识别检验）,过度识别(工具变量的数量内生变量的数量）：假设有一个内生变量，两个工具变量( 1 2 )，我们可以采用下面的分步检验方法： 先假设第一个工具变量 1 满足外生性Cov Z 1i , =0，并只用 1 作为工具变量得到系数的估计值 1 1 ， 1 1 是 1 一致估计量，因此残差 1 = 1 1 也是 e 一致估计量。接着使用 1 对工具变量 2 的外生性进行检验，即