《2011届高考数学复习 反函数课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届高考数学复习 反函数课件（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、反函数,一、定义,设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C. 如果从式子 y=f(x) 解得 x=(y),且对于 y 在 C 中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y).,x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A.,二、定义理解,1.函数存在反函数的条件: 映射 f: AC 为一一映射.,2.函数在其定义域区间上可能不存在反函数, 但可以在定义域区间的某个子区间上存在反函数.,3.反函数的定义域
2、和值域分别是原函数的值域和定义域.,注意: 反函数的定义域不能由其解析式来求.,三、简单性质,1.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称;,2.单调函数一定存在反函数, 但有反函数的函数不一定是单调函数;,3.奇函数不一定有反函数, 偶函数在一般情况下无反函数;,4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的 单调性;,5.若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a),即: 若 aA, bC, 则 f-1f(a)=a, ff-1(b)=b.,四、求函数的反函数的步骤,2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x);
3、,3.交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x),1.求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围, 得其反函数中 x 的取值范围;,五、函数与其反函数图像的交点问题,如果一个函数与其反函数的图像有公共点, 则公共点在直线 y=x 上, 或者关于直线 y=x 对称地成对出现.,4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围.,六、典型例题,A,B,例3 求下列函数的反函数:,(2) y=x|x-2|+4x.,例4 解答下列关于反函数的问题:,4.(1)a=-3;,答 案,七、课堂练习,2.试求使函数y=4x-2x+1 存在反函数的定义域区间, 并
4、求相应区间上的反函数.,1.若映射 f: A B 中, A=B=(x, y) | xR, yR, f: (x, y) (x+2y+2, 4x+y), 试求: (1) A 中的元素 (5, 5) 的象; (2) B 中的元素 (5, 5) 的原象.,答 案,1. (17, 25);,(1, 1),a=-2.,4.求函数 y=x|x|+2x 的反函数.,解: 原函数可写成:,当 x0 时, y0,由 y=(x+1)2-1 得:,当 x0 时, y0,由 y=-(x-1)2+1 得:,解得 a=-1.,-4f(x)1.,-5x0,令 t(x)=25-(x-1)2, 易知, t(x) 是 -4, 1
5、上的增函数.,解: (1) x1,故 f-1(x) 的定义域是 0, 1).,f(x) 的值域是 0, 1).,又对任意的 x1, x20, 1), 且 x1x2, 有:,即 0f(x)1.,即为: f-1(x1)0, 当 0k2 时, 1-kx1,原不等式的解集为 (1-k, 1);, 当 k2 时, -1x0) 和定义在 R 上的奇函数 g(x), 当 x0时, g(x)=f(x), 试求 g(x) 的反函数.,解: 当 x0 时, g(x)=f(x)=2-x 且有 0g(x)1;,g(x)=-g(-x)=-2-(-x)=-2x 且有 -1g(x)0.,当 x=0 时, g(0)=0 ;,当 x0,
