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1、设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,2.两点分布,1.退化分布,若随机变量X取常数值C的概率为1,即,则称X服从退化分布,2.4 常用离散分布,1,概率论24节常用离散分布,例 抛一枚均匀硬币 , 令,则随机变量 X 服从 (0-1) 分布,则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为Xb(1,p,2,概率论24节常用离散分布,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布刻画,说明,3,概率论24节常用离散分布,4,概率论24节常用离散分布,3 二项分布 记为 X b(n, p)
2、. X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时， b(1, p) 为 0-1分布,5,概率论24节常用离散分布,二项分布的图形,6,概率论24节常用离散分布,7,概率论24节常用离散分布,试验次数为 n=4,成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,所以, X b(4, 0.8,思考： 若 Y 为不合格品件数，Y ,Y b(4, 0.2,一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布,8,概率论24节常用离散分布,9,概率论24节常用离散分布,10,概率论24节常用离散分布,11,概率论24节常用离散分布,若随机变量 X 的概率分布为,则称 X
3、 服从参数为 的泊松分布,记为 X P(,4 泊松分布,12,概率论24节常用离散分布,满足归一性,由,13,概率论24节常用离散分布,14,概率论24节常用离散分布,泊松分布的数学期望与方差分别为,泊松分布,用同样的方法可求得,15,概率论24节常用离散分布,泊松分布的图形,16,概率论24节常用离散分布,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布,17,概率论24节常用离散分布,电话呼唤次数,交通事故次数,商场
4、接待的顾客数,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的,18,概率论24节常用离散分布,例2.4.5 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 8的泊松分布。为了以90%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件,解,由附录的泊松分布表知,只要在月底进货12件(假定上个月没有存货)，就可以90%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销,19,概率论24节常用离散分布,泊松定理,定理2.4.1,二项分布的泊松近似,在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中 成功的概率,若 npn ，则,20,概率论24节常用离散分布,定理
5、2.4.1 (泊松定理,在 重贝努利试验中,事件,A在每次试验中发生的概率为,与试验的次数n,有关,如果,时,0,为常数,则对任意k,有,根据此定理,参数为,若,充分大,充分小,则X近似服从,的泊松分布,即,21,概率论24节常用离散分布,上面我们提到,单击图形播放/暂停ESC键退出,22,概率论24节常用离散分布,23,概率论24节常用离散分布,24,概率论24节常用离散分布,25,概率论24节常用离散分布,例2.4.7 有10 000名同年龄且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳200元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获10 000元的赔偿费。根据生
6、命表知这类人的年死亡率为0.001。试求保险公司在这项业务上 （1）亏本的概率； （2）至少获利500 000元的概率,26,概率论24节常用离散分布,27,概率论24节常用离散分布,28,概率论24节常用离散分布,29,概率论24节常用离散分布,30,概率论24节常用离散分布,31,概率论24节常用离散分布,记为 X h(n, N, M,超几何分布对应于不返回抽样模型,N 个产品中有 M 个不合格品,从中抽取n个，不合格品的个数为X,2.4.3 超几何分布,32,概率论24节常用离散分布,记为 X Ge(p,X 为独立重复的伯努里试验中， “首次成功”时的试验次数,几何分布具有无记忆性，即,
7、P( X m+n | X m ) = P( X n,2.4.4 几何分布,33,概率论24节常用离散分布,负二项分布(巴斯卡分布,记为X Nb(r, p,X 为独立重复的伯努里试验中， “第 r 次成功”时的试验次数,34,概率论24节常用离散分布,注 意 点（1,二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和,n重伯努利试验可看作由n个相同的、独立进行的伯努利试验组成，若将第i个伯努利试验中成功的次数记为Xi b(1,p) (i=1,n), n重伯努利试验成功的总次数X= X1 + X2 + Xn ，它服从b(n,p),35,概率论24节常用离散分布,注 意 点（2,负二项随机变量是独立几何随机变
8、量之和,做一系列的伯努利试验，如果将首个成功出现时的试验次数记为X1 ，第二个成功出现时的试验次数（从第一次成功之后算起）记为X2 ，第r个成功出现时的试验次数记为Xr , 则Xi 独立同分布，且Xi Ge(p). 此时有 X= X1 + X2 + Xn Nb(r,p,36,概率论24节常用离散分布,解,37,概率论24节常用离散分布,2 二项分布,设 X 服从参数为 n、p 的二项分布，其分布律为,有,38,概率论24节常用离散分布,3 泊松分布,设 X 服从参数为 的泊松分布，其分布律为,X的数学期望为,39,概率论24节常用离散分布,又可算得,故,40,概率论24节常用离散分布,常用离散分布的数学期望,几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p,0-1 分布的数学期望 = p,二项分布 b(n, p)的数学期望 = np,泊松分布 P() 的数学期望 =,41,概率论24节常用离散分布,常用离散分布的方差,0-1 分布的方差 = p(1p,二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p,泊松分布 P() 的方差=,几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2,42,概率论24节常用离散分布,43,概率论24节常用离散分布,44,概率论24节常用离散分布,45,概率论24节常用离散分布,46,概率论24节常用离散分布
