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1、 成都崇文教育天府长城校区 1充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例 1】 已
2、知 、 是方程 012x的两个实数根，则代数式 )2(2的值为 。 思路点拨：所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为 (例【例 2】如果 a、 b都是质数，且 0132ma， 0132mb，那么 ba的值为( ) A、 13 B、 215或 2 C、 5 D、 或 2思路点拨：可将两个等式相减，得到 a、 b的关系，由于两个等式结构相同，可视 a、 为方程02mx的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于 1x、 2的对称式，这类问题可通过变形用 1x+ 2、12表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合
3、；(2) 根据根的定义降次；(3) 构造对称式。【例 3】 已知关于 x的方程： 04)2(mxx(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。(2)若这个方程的两个实根 1、 2满足 21，求 m 的值及相应的 1x、 2。思路点拨：对于(2)，先判定 x、 的符号特征，并从分类讨论入手。【例 4】 设 1x、 2是方程 02342mx的两个实数根，当 m 为何值时， 21x有最小值?并求出这个最小值。思路点拨：利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(0)进行的。注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦
4、达定理解题时，须满足判 成都崇文教育天府长城校区 2别式0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。【例 5】 已知：四边形 ABCD 中， ABCD，且 AB、CD 的长是关于 x的方程047)21(2mx的两个根。(1)当 m2 和 m2 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形 ?并说明理由。(2)若 M、N 分别是 AD、BC 的中点，线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P，Q，PQ1，且 ABBC)的长是关于 x的方程 x2+2(1-m)x+6m=0 的两个根。(1)求 rn 的值；(2)若 E 是 AB 上的一点，CFDE 于 F，求 BE 为何值时，
5、CEF 的面积是CED 的面积的 31，请说明理由 16、设 m 是不小于 1的实数，使得关于 x的方程工 03)2(2mxx有两个不相等的实数根 1x、 2。(1) 若 621，求 m 的值。 （2）求 21xm的最大值。17、如图，已知在ABC 中，ACB=90 ，过 C 作 CDAB 于 D，且ADm，BD=n，AC 2：BC 2 2：1；又关于 x 的方程 012)(241mxnx两实数根的差的平方小于 192，求整数 m、n 的值。 成都崇文教育天府长城校区 518、设 a、 b、 c为三个不同的实数，使得方程和 012ax和 02cbx有一个相同的实数根，并且使方程 02ax和 0
6、2bcx也有一个相同的实数根，试求 a的值。19、如图，矩形 ABCD 中，已知边 AB、BC 的长恰为关于 x 的一元二次方程 x2-（m-2）x+3m=0 的两个根动点 P、Q 分别从点 B、C 出发，其中，点 P 以 a cm/s 的速度，沿 BC 的路线向点 C 运动；点 Q 以 3cm/s 的速度，沿 CD 的路线向点 D 运动若 P、Q 两点同时出发，运动时间为 t（s）（t0），且当 t=2 时，P、Q 两点恰好同时到达目的地（1）求 m、a 的值；（2）是否存在这样的 t，使得APQ 的外心恰好在APQ 的某一边上？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由 成都崇文教育天府长城校区 6参考答案 成都崇文教育天府长城校区 7
