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1、1.如图，在平面直角坐标 系 xOy 中，已知椭圆的离心率为 22 22 10 xy ab ab ，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2 2 （1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂 直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程. 解：（1）由题意得， ，且 ，解得 则， 2 2 c a 2 3 a c c 2,1,ac1b 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）当轴时，又，不合题意 ABx2AB 3CP 当与轴不垂直时，设直线的方程为， ABxAB 1yk x 11 ,x yA 2
2、2 ,xy 将的方程代入椭圆方程，得， AB 2222 124210kxk xk 则，的坐标为，且 22 1,2 2 22 1 12 kk x k C 2 22 2 , 1212 kk kk 2 222 2 212121 2 2 2 1 1 12 k ABxxyykxx k 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意 0k AB y 从而，故直线的方程为， 0k PC 2 22 12 1212 kk yx kkk 则点的坐标为，从而 P 2 2 52 2, 12 k kk 22 2 2 311 12 kk PC kk 因为，所以，解得 2PCAB 222 2 2 2 3114 2 1
3、1212 kkk kkk 1k 此时直线方程为或 AB 1yx1yx 2.已知椭圆的离心率为，一个交点到相应的准线的距离为 3，圆 N 的方程为 22 22 :1(0) xy Mab ab 1 2 为半焦距）直线与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点，分别设为 A、B. 2222 ()(xcyac c:(0)l ykxm k （1）求椭圆方程和直线方程； （2）试在圆 N 上求一点 P，使。2 2 PB PA B A O x y l P C 3.如图，已知椭圆 O：y21 的右焦点为 F，点 B，C 分别是椭圆 O 的上、 x2 4 下顶点，点 P 是直线 l：y2 上的一个动点（与 y 轴交
4、点除外） ，直线 PC 交椭圆于另一点 M （1）当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求FBM 的面积； （2）记直线 BM，BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值； 求的取值范围PB PM 解：（1）由题意，焦点，当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，则直线 PM 的方程为，(0,1),(0, 1)BC( 3,0)F1 13 xy 即， 联立，解得或（舍） ，即 2 分 3 1 3 yx 2 2 1, 4 3 1, 3 x y yx 8 3 , 7 1 , 7 x y 0, 1 x y 8 3 1 (, ) 77 M 连 BF，则直线 BF：，即，而， 4 分1 13 xy
5、330 xy2BFa 22 8 312 3 |33| 3 777 27 1( 3) d 故 5 分 1133 2 2277 MBF SBF d A （2）解法一：设，且，则直线 PM 的斜率为，( , 2)P m 0m 1( 2)1 0 k mm 则直线 PM 的方程为，联立化简得，解得，8 1 1yx m 2 2 1 1, 1, 4 yx m x y 2 2 48 (1)0 xx mm 2 22 84 (,) 44 mm M mm 分 所以， 所以为定值 10 分 2 2 2 1 2 4 1 21 4 8 84 4 m m m km m m m 2 1( 2)3 0 k mm 12 3 13
6、 44 kkm m 由知，(,3)PBm 232 2222 841212 (,2)(,) 4444 mmmm m PMm mmmm 所以， 13 分 3242 222 12121536 (,3) (,) 444 mm mmm PB PMm mmm 令，故， 2 44mt 22 (4)15(4)36788 7 tttt PB PMt ttt 因在上单调递增，故，即的取值范围为16 分 8 7yt t (4,)t 88 7479 4 PB PMt t PB PM (9,) 解法二：设点，则直线 PM 的方程为，令，得. 7 分 000 (,)0M xyx 0 0 1 1 y yx x 2y 0 0
7、 (, 2) 1 x P y 所以，所以 0 1 0 1y k x 0 2 0 0 0 3121 1 y k x x y （定值）.10 分 22 00 0 0 12 2 2 000 0 3131 3113 44 1 yy yy k k xxxy 由知， 0 0 (,3) 1 x PB y 0 00 0 (,2) 1 x PMxy y 所以 2 00 00 000 2 00 0 2 32 1 23 1 1 xyxx PB PMxyy yy y = 13 分 （第（第 4 题图）题图） 2 00 00 0 2 0 0 4 12 72 32 1 1 yy yy y y y 令，则，因为在上单调递减
8、， 0 10,2ty 818 7 tt PB PMt tt 8 7yt t (0,2)t 所以，即的取值范围为 16 分 88 7279 2 PB PMt t PB PM (9,) 4.如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足1 2 2 2 2 b y a x 0（ （ （ ba 1 F 2 FPM 1 PF （） ，为坐标原点.MPMF 1 RMFPO 2 O （1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围.1 48 22 yx （ （ （ （22PM2e 解：（1） 22 1 84 xy 12 ( 2,0),(2,0)FF 21 22 ,2,
9、24 OPF MF M kkk 直线的方程为：，直线的方程为： 4 分 2 F M2(2)yx 1 FM 2 (2) 4 yx 由解得： 点的横坐标为 6 分 2(2) 2 (2) 4 yx yx 6 5 x M 6 5 （2）设 00 (,),(,) MM P xyM xy 1 2FMMP uuuu ruuu r Q 100 2 (,)(,) 3 MM FMxc yxc y 00200 212242 (,),(,) 333333 MxcyF Mxcy ， 即 9 分 2 POF M 00 (,)OPxy 2 000 242 ()0 333 xc xy 22 000 2xycx 联立方程得：，
10、消去得： ，解得： 或 12 22 000 22 00 22 2 1 xycx xy ab 0 y 222222 00 2()0c xa cxaac 0 ()a ac x c 0 ()a ac x c 分 解得：，综上，椭圆离心率 的取值范围为15 0 axa 0 () (0, ) a ac xa c 2 0aacac 1 2 e e 1 ( ,1) 2 分 5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率xoyC)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，左顶点为，过点作斜率为的直线 交椭圆于点，交 2 1 e)0 , 4(AA)0( kklCD 轴于点. （1）求椭圆的方程; （2
11、）已知为的中点，是否存在定点yECPAD ，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明Q)0( kkEQOP Q 理由; （3）若过点作直线 的平行线交椭圆于点，求的最小值.OlCM OM AEAD 解：（1）因为左顶点为，所以，又，所以.2 分( 4 0)A （4a 1 2 e 2c 又因为，所以椭圆 C 的标准方程为. 4 分 222 12bac 22 1 1612 xy （2）直线 的方程为，由消元得，.l(4)yk x 22 1 1612 (4), xy yk x （ 22 (4) 1 1612 xk x 化简得，所以，. 6 分 22 (4)(43)1612)0 xkxk 1
12、 4x 2 2 2 1612 43 k x k 当时， 2 2 1612 43 k x k 2 22 161224 (4) 4343 kk yk kk 所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.8 2 22 161224 , 4343 ()D kk kk PADP 2 22 1612 , 43 43 () kk kk 3 (0) 4 OP kk k 分 P D M AO x y E 直线 的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，l(4)yk x0 x E(0,4 )k( , )(0)Q m n m OPEQ 则，即恒成立，所以恒成立，所以即1 OPEQ kk 34 1 4 nk km (4
13、12)30mkn 4120 30 m n （ （ 3 0 m n （ （ 因此定点的坐标为. 10 分Q( 3,0) （3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，12 分OMlAOMykx 22 1 1612 xy ykx （ M 2 4 3 43 x k 由，得 14 分OMlA 2 DAEA DA MM xxxxxxADAE OMxx 2 2 2 2 2 1612 149 43 4 33 43 4 8 3 k k k k k ，当且仅当即时取等号， 2 2 16 )2(243 3 43 k k 2 2 6 43 43 k k 3 2 k 所以当时，的最小值为 16 分 3 2 k AD
14、AE OM 2 2 6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆(ab0)的两焦点分别为 F1(，0)，F2(，0)， 22 22 1 xy ab 33 且经过点(，) （1）求椭圆的方程及离心率；3 1 2 （2）设点 B，C，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 O 对称设 直线 CD，CB，OB，OC 的斜率分别为 k1，k2，k3，k4，且 k1k2k3k4求 k1k2的值；求 OB2+OC2的值 解：（1）方法一：依题意，c，a2b2+3，2 分3 由，解得 b21(b2，不合，舍去)，从而 a24故所求椭圆方程为：离心率 e 5 分 22 1 3 4 1 3
15、bb 3 4 2 2 1 4 x y 3 2 方法二 由椭圆的定义知，2a4， 即 a2又因 c，故 b21下 2222 11 (33)(0)( 33)(0) 22 3 略 （2）设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，则 D(x1，y1)，于是 k1k2 8 分 2121 2121 yyyy xxxx 1 22 2 22 21 yy xx 22 21 22 21 (1)(1) 44 xx xx 1 4 方法一由知，k3k4k1k2，故 x1x2 1 4 12 4y y 所以，(x1x2)2(4y1y2)2，即(x1x2)2，所以，411 分 22 12 16(1)(1) 44 xx 2222
16、 1212 164()xxx x 22 12 xx 又 2，故所以，OB2+OC2 5 14 分 22 2212 12 ()() 44 xx yy 22 2212 12 4 xx yy 22 12 1yy 2222 1122 xyxy 方法二由知，k3k4k1k2将直线 yk3x 方程代入椭圆中，得 9 分 1 4 2 2 1 4 x y 2 1 2 3 4 14 x k 同理，所以，411 分下同方法一 2 2 2 4 4 14 x k 22 12 22 34 44 1414 xx kk 2 2 3 3 44 1 14 14() 4 k k 7.如图，已知椭圆其率心率为两条准线之间的距离为分别为椭圆的上、下顶点，过点),0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x M, 2 3 CB, 3 38 M 的直线分别与椭圆交于两点.)0)(2 ,( ttTTCTB,MFE, （1）椭圆的标准方程； （2）若的面积是的面积的倍，求的最大值.MTBCTEFkk y xO F1F2 B C （第 17 题） D 解：（1）由题意，解得，所以，椭圆方程为 4 分 2 3 28 3 , 23 c
