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1、第二章 数列极限 引言:在第一章中我们已经指出,数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数,那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢?从本质上来说,这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终,几乎所有的概念都离不开极限,是我们数学分析课程的基础。 数列极限的概念教学内容:数列极限的概念,应用定义证明简单数列的极限,无穷小数列。教学要求:使学生逐步建立起数列极限的 定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷N小数列等有关概念。会应用数列极限的 定义证明数列的有关命题,并能运用 语言正N确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。教学重点:数列极限的概念。教学难点:数列极限的
2、定义及其应用。教学方法:讲授为主。教学学时:2 学时。一、数列概念:数列的定义:简单的说,数列就是“一列数” ,是有一定的规律,有一定次序性的“一列数” 。若函数 的定义域为全体正整数集合 ,则称 或 为数列。f N:fRNnf),(若记 ,则数列 就可写作为: ,简记为 ,其中 称()nanf,21),(12,a nan为该数列的通项。数列的例子:(1) ; (2)()1:,234n 1:2,1,435n(3) ; (4)2:,96,5 ():,0,二、数列极限的概念:引言:对于这个问题,先看一个例子:古代哲学家庄周所著的庄子. 天下篇引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭” 。把每天
3、截下的部分的长度列出如下(单位为尺):第天截下 ,第天截下 ,第天截下 ,第 天截下 ,1221231n12n得到一个数列: : n23,n 不难看出,数列 的通项 随着 n 的无限增大而无限地接近于零。1n一般地说,对于数列 ,若当 n 无限增大时, 能无限地接近某一个常数 ,则称此数列为收nanaa敛数列,常数 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列,或称为发散数列。据此可以说,数列 是收敛数列,是它的极限。12n数列 都是发散的数列。21,()n需要提出的是,上面关于“收敛数列”的说法,并不是严格的定义,而仅是一种“描述性”的说法,如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一
4、步分析。以 为例,可观察出该数列具以下特性:1n随着 n 的无限增大, 无限地接近于 1 随着 n 的无限增大, 与的距离无限减少1na1n随着 n 的无限增大, 无限减少 会任意小,只要 n 充分大。|如:要使 ,只要 即可;1|0.0要使 ,只要 即可;|n1n任给无论多么小的正数 ,都会存在数列的一项 ,从该项之后 , 。即Na()nN1|n,当 时, 。0,Nn1|n如何找?(或存在吗?)解上面的数学式子即得: ,取 即可。这样1n1当 时, 。0,n1|nN综上所述,数列 的通项 随 n 的无限增大, 无限接近于,即是对任意给定正数1n,总存在正整数,当 时,有 。此即 以为极限的精
5、确定义。n1|2数列极限的定义:定义 1 设 为数列,a 为实数 ,若对任给的正数 ,总存在正整数 N,使得当 时有 , na nN|na则称数列 收敛于 a,实数 a 称为数列 的极限,并记作 或 .nlimna()读作:当 n 趋于无穷大时, 的极限等于 a 或 趋于 a。由于 n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中n把 写成 ,即 或 .lim()n若数列 没有极限,则称 不收敛,或称 为发散数列。nanana举例说明如何用 定义来验证数列极限:N例证明 为 正 数 。这 里 ,01limn证明: , ,则当 时,便有 ,所以1NnNn101.01lin(注:这里取整保证 为非负整数;
6、 保证 为正整数。 )N1例证明 .lim0(|)nq证明: (不妨设 ) , ,则当 时,便有 ,所以1qlgNnnnq0.li0(|)nq(注:这里限制 保证 为正数,但这并不影响证明过程; 并不一定是整数。)1N例证明 .32lim97n证明: , ,则当 时,便有 ,0n 2333791207912nnn所以 .321li97n例证明 .2limn证明: 由于 ,因此, , ,则当 时,)3(9322 n09,3maxNNn便有 ,所以 .2n2lin例证明 ,其中 .lim1na0证明:当 时,结论显然成立.现设 ,记 ,则 .由1a1na0得 于是,)(1)( nna, ,则当 时
7、,便有 ,所以 .0aNN1nalim1na对于 的情形,留作练习。关于数列的极限的 定义的几点说明:() 关于 : 的任意性。定义中的正数 的作用在于衡量数列通项 与常数 a 的接近程度,n越小,表示接近得越好;而正数 可以任意小,说明 与常数 a 可以接近到任何程度; 的暂时固n 定性。尽管 有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出; 的多值性。既是任意小的正数,那么 等等,同样也是任意小的正数,因此定义中的不等式2,3中的 可用 等来代替。从而“ ”可用“ ”代替;正由于|na|na|na是任意小正数,我们可以限定 小于一个确定的正数。() 关于: 相应性,一般地,随
8、 的变小而变大,因此常把定作 ,来强调是依()N赖于 的; 一经给定,就可以找到一个;多值性。的相应性并不意味着是由 唯一确定的, 因为对给定的 ,若 时能使得当 时,有 ,则 或更大的数时此不等式自10NnN|na10然成立。所以不是唯一的。事实上,在许多场合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大。基于此,在实际使用中的也不必限于自然数,只要是正数即可;而且把“ ”改为“ ”nNn也无妨。 的取值也不一定必须是正整数,可以为为正数,因为满足条件的正数 如果存在,比大的任何正整数必能使条件成立。N()数列极限的几何理解:在定义中, “当 时有 ” “当 时有nN|na” “当 时有 ” 所
9、有下标大于的项 都nan,(;)aUna落在邻域 内;而在 之外,数列 中的项至多只有个(有限个) 。反之,任给 ,(;)U(;)n 0若在 之外数列 中的项只有有限个,设这有限个项的最大下标为,则当 时有na nN,即当 时有 ,由此写出数列极限的一种等价定义(邻域定义):(;)naN|na定义 任给 ,若在 之外数列 中的项只有有限个,则称数列 收敛于极限 a.10(;)Un na由此可见:)若存在某个 ,使得数列 中有无穷多个项落在 之外,则 一0a0(;)Un定不以 a 为极限;)应该注意,任给 ,若在 内数列 中的项有无限多个,并不能说(;)Una明数列 收敛于极限 a。n例 6.
10、证明 和 都是发散数列。2(1)n分析:即证数列不以任何 为极限,利用定义 。Ra1证明: ,取 ,则数列 中所有满足 的项(有无穷多个)显然都在a02nan之外,故 不以任何 为极限,即数列 是发散数列。);(U2a2取 , ,则在 之外有 中所有奇数项(无穷多项) ,故 不10);(0U(1)n(1)n以 1 为极限;对 ,取 ,则在 之外有 中所有偶数项(无1a120a);(0aU(1)n穷多项) ,故 不以 为极限。从而 不以任何 为极限,即()nnR是发散数列。()n例 7. 设 ,作数列如下: . 证明 .limlinnxya12:,nnzxyxy limnza证明:因 ,故 ,数
11、列 和 在 之外的项都至多只有有限0n);(aU个,所以数列 中落在 之外的项至多只有有限个,从而 。nz);(Ulinz例 8. 设 为给定的数列, 为对 增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明:数列nanbna与 同时收敛或发散,且在收敛时两者的极限相等。b证明:设 为收敛数列,且 ,故 ,数列 中落在 之外的项至多只nnlim0na);(aU有有限个,而数列 为对 增加、减少或改变有限项之后得到的数列,故从某一项开始,nba中的每一项都是 中确定的一项,所以 中落在 之外的项至多只有有限个,nb nb);(这就证得数列 收敛,且有 。nnli现设 为发散数列,倘若 收敛,则因 可看成是对 增加、减少或改变有限项之nabnanb后得到的数列,故由前面证明可知 为收敛数列,矛盾,所以当 发散时 也发散。n anb三、无穷小数列:在所有收敛数列中,在一类重要的数列,称为无穷小数列,其定义如下:定义若 ,则称 为无穷小数列。lim0nana如 都是无穷小数列。121(),2nn定理.数列 收敛于 a 的充要条件是: 为无穷小数列。n na证明:由数列极限的 定义容易证明。N