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1、第二章 数列极限 引言:在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 数列极限的概念教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。教学要求：使学生逐步建立起数列极限的 定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷N小数列等有关概念。会应用数列极限的 定义证明数列的有关命题，并能运用 语言正N确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：数列极限的概念。教学难点：数列极限的
2、定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学学时：2 学时。一、数列概念：数列的定义：简单的说，数列就是“一列数” ，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数” 。若函数 的定义域为全体正整数集合 ，则称 或 为数列。f N:fRNnf),(若记 ，则数列 就可写作为： ，简记为 ，其中 称()nanf,21),(12,a nan为该数列的通项。数列的例子：（1） ； （2）()1:,234n 1:2,1,435n（3） ； （4）2:,96,5 ():,0,二、数列极限的概念：引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的庄子. 天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。把每天
3、截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第天截下 ，第天截下 ，第天截下 ，第 天截下 ，1221231n12n得到一个数列： ： n23,n 不难看出，数列 的通项 随着 n 的无限增大而无限地接近于零。1n一般地说，对于数列 ，若当 n 无限增大时， 能无限地接近某一个常数 ，则称此数列为收nanaa敛数列，常数 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。据此可以说，数列 是收敛数列，是它的极限。12n数列 都是发散的数列。21,()n需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一
4、步分析。以 为例，可观察出该数列具以下特性：1n随着 n 的无限增大， 无限地接近于 1 随着 n 的无限增大， 与的距离无限减少1na1n随着 n 的无限增大， 无限减少 会任意小，只要 n 充分大。|如：要使 ，只要 即可；1|0.0要使 ，只要 即可；|n1n任给无论多么小的正数 ，都会存在数列的一项 ，从该项之后 ， 。即Na()nN1|n，当 时， 。0,Nn1|n如何找？（或存在吗？）解上面的数学式子即得： ，取 即可。这样1n1当 时， 。0,n1|nN综上所述，数列 的通项 随 n 的无限增大， 无限接近于，即是对任意给定正数1n，总存在正整数，当 时，有 。此即 以为极限的精
5、确定义。n1|2数列极限的定义：定义 1 设 为数列,a 为实数 ,若对任给的正数 ,总存在正整数 N,使得当 时有 , na nN|na则称数列 收敛于 a,实数 a 称为数列 的极限,并记作 或 .nlimna()读作：当 n 趋于无穷大时, 的极限等于 a 或 趋于 a。由于 n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中n把 写成 ,即 或 .lim()n若数列 没有极限，则称 不收敛，或称 为发散数列。nanana举例说明如何用 定义来验证数列极限：N例证明 为 正 数 。这 里 ,01limn证明： ， ，则当 时，便有 ，所以1NnNn101.01lin（注：这里取整保证 为非负整数；
6、 保证 为正整数。 ）N1例证明 .lim0(|)nq证明： （不妨设 ） ， ，则当 时，便有 ，所以1qlgNnnnq0.li0(|)nq(注：这里限制 保证 为正数，但这并不影响证明过程； 并不一定是整数。)1N例证明 .32lim97n证明： ， ，则当 时，便有 ，0n 2333791207912nnn所以 .321li97n例证明 .2limn证明: 由于 ，因此， ， ，则当 时，)3(9322 n09,3maxNNn便有 ，所以 .2n2lin例证明 ，其中 .lim1na0证明：当 时，结论显然成立.现设 ，记 ，则 .由1a1na0得 于是，)(1)( nna， ，则当 时
7、，便有 ，所以 .0aNN1nalim1na对于 的情形，留作练习。关于数列的极限的 定义的几点说明：（） 关于 ： 的任意性。定义中的正数 的作用在于衡量数列通项 与常数 a 的接近程度，n越小，表示接近得越好；而正数 可以任意小，说明 与常数 a 可以接近到任何程度； 的暂时固n 定性。尽管 有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出； 的多值性。既是任意小的正数，那么 等等，同样也是任意小的正数，因此定义中的不等式2,3中的 可用 等来代替。从而“ ”可用“ ”代替；正由于|na|na|na是任意小正数，我们可以限定 小于一个确定的正数。（） 关于： 相应性，一般地，随
8、 的变小而变大，因此常把定作 ，来强调是依()N赖于 的； 一经给定，就可以找到一个；多值性。的相应性并不意味着是由 唯一确定的， 因为对给定的 ，若 时能使得当 时,有 ,则 或更大的数时此不等式自10NnN|na10然成立。所以不是唯一的。事实上，在许多场合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大。基于此，在实际使用中的也不必限于自然数，只要是正数即可；而且把“ ”改为“ ”nNn也无妨。 的取值也不一定必须是正整数，可以为为正数，因为满足条件的正数 如果存在，比大的任何正整数必能使条件成立。N（）数列极限的几何理解：在定义中， “当 时有 ” “当 时有nN|na” “当 时有 ” 所
9、有下标大于的项 都nan,(;)aUna落在邻域 内；而在 之外，数列 中的项至多只有个（有限个） 。反之，任给 ，(;)U(;)n 0若在 之外数列 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为，则当 时有na nN，即当 时有 ，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：(;)naN|na定义 任给 ，若在 之外数列 中的项只有有限个，则称数列 收敛于极限 a.10(;)Un na由此可见：）若存在某个 ，使得数列 中有无穷多个项落在 之外，则 一0a0(;)Un定不以 a 为极限；）应该注意，任给 ，若在 内数列 中的项有无限多个，并不能说(;)Una明数列 收敛于极限 a。n例 6.
10、证明 和 都是发散数列。2(1)n分析：即证数列不以任何 为极限，利用定义 。Ra1证明： ，取 ，则数列 中所有满足 的项（有无穷多个）显然都在a02nan之外，故 不以任何 为极限，即数列 是发散数列。);(U2a2取 ， ，则在 之外有 中所有奇数项（无穷多项） ，故 不10);(0U(1)n(1)n以 1 为极限；对 ，取 ，则在 之外有 中所有偶数项（无1a120a);(0aU(1)n穷多项） ，故 不以 为极限。从而 不以任何 为极限，即()nnR是发散数列。()n例 7. 设 ，作数列如下： . 证明 .limlinnxya12:,nnzxyxy limnza证明：因 ，故 ，数
11、列 和 在 之外的项都至多只有有限0n);(aU个，所以数列 中落在 之外的项至多只有有限个，从而 。nz);(Ulinz例 8. 设 为给定的数列， 为对 增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列nanbna与 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。b证明：设 为收敛数列，且 ，故 ，数列 中落在 之外的项至多只nnlim0na);(aU有有限个，而数列 为对 增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故从某一项开始，nba中的每一项都是 中确定的一项，所以 中落在 之外的项至多只有有限个，nb nb);(这就证得数列 收敛，且有 。nnli现设 为发散数列，倘若 收敛，则因 可看成是对 增加、减少或改变有限项之nabnanb后得到的数列，故由前面证明可知 为收敛数列，矛盾，所以当 发散时 也发散。n anb三、无穷小数列：在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义若 ，则称 为无穷小数列。lim0nana如 都是无穷小数列。121(),2nn定理.数列 收敛于 a 的充要条件是： 为无穷小数列。n na证明：由数列极限的 定义容易证明。N
