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1、数列中的裂项法求和举例杨恒运 江苏省扬中高级中学 （212200）数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。1. 求通项公式例 1 已知数列 满足：na是首项为 1 公比为 的等比数列，求通项2321,a 3na由于 很容易求出通项121321nnaa 13n2. 求等差数列前 n 项和例 2 在数列 中,若ns， 求 前 项 和学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若用裂项法就很容易求出其前 n 项和略解:显然 2(1)na122 21 ()(3)()nnsand
2、 则一 般 地 ， 若 等 差 数 列1 121211()3d = n+23 =na()naadads nd则3求等比数列前 n 项和对于等比数列前 n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简例 3 在数列 中,若na2nns， 求 前 项 和11 1n11n 02111212a() a=()q-() ()n nnnns aqs qqq 略 解 ：一 般 地 在 等 比 数 列 中 若则4求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前 n 项和对这种数列的前 n 项和问题更是一个难点，求和的方法是错位相减法，即使学生记得此方法，但运算正确的也很少，若用裂项法，则运算
3、很简捷。例 4 在数列 中,若 ，求数列前 n 项和。na23nn13 nn略 解 ： 3nns例 5 在数列 中,若 ， 求数列前 n 项和a234nn12433 21 44134nnnnnns1649n111a = q-1n nnnnaaqqbbaqb一 般 地 : 由此很容易求出此数列的前 n 项和。5求有关二项式系数的和例 6 化简 22234ncc 若利用组合数性质，则有331kkk原式=2311nncc6求通项是分式形式的数列前 n 项和例 7 在数列 中 ，若 设正项数列 满足nanb11,b求证： 123121nb 证明：当 时不等式显然成立。当 时n两式相减得： 11nnba
4、1211,nbab又则 原式左边= 31425311 nbb 121nbb1121nn所以不等式成立。7通项是多项式形式的数列的求和例 8 求数列 的前 n 项和n312131 230421=12321234 nnn nas nanns 似似 由上式不难得到 11124n nsn类比可求得 的前 n 项和nak 8求通项是三角形式的数列前 n 项和例 9 在数列 中 ,求前 n 项和 nsixsi2sis1coco2sin2111 cocos2si2s2innnaxxxxx似 裂项法在其它形式的数列求和中均有广泛应用，在此不一一举例。裂项法求和关键在于拆项、消项。因而具有较强的技巧。在平时的解题训练中不应生搬硬套，过于追求巧，而应灵活应用。
