《2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念素养课件新人教A版必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念素养课件新人教A版必修第二册（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念,情境探究】 1.回顾一元二次方程的解,明确实数的概念与分类: (1)方程x2-2x-3=0的正整数解是_,有理数解是_,实数解是_. (2)方程x2-2x-1=0的无理数解是 ,实数解是,必备知识生成,3,3,-1,3,-1,2.(1)方程x2=-1在实数集中是否有解? 提示:因为实数的平方都是非负数,所以方程x2=-1在实数集中无解. (2)为了解决此类方程无实数解的问题,我们引入新数i,定义ii=i2=-1,将实数 集加以扩充,得到一个新的数集,那么此方程在这个数集中就有一个解为_,i,3.(1)复数a+bi(a,bR)
2、何时表示零? 提示:当且仅当a=b=0时表示零. (2)实数集R与复数集C有什么关系? 提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集, 即R C. 用图形语言描述,知识生成】 1.数系的扩充与复数的概念: (1)复数的定义 形如_的数叫做复数,其中i叫做_,满足i2=_,全体复数 所构成的集合C=a+bi|a,bR叫做_. (2)复数的表示 复数通常用字母z表示,即z=_,a与b分别叫做复数z的_与_. (3)复数相等 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di_,a+bi(a,bR,虚数单位,1,复数集,a+bi(a,bR,实部,虚部,a=c且b=d,2.复数的分类与数系表,关键能
3、力探究,探究点一复数的有关概念与表示 【典例1】1.给出下列三个命题:若zC,则z20;2i-1虚部是2i;2i的实 部是0.其中真命题的个数为() A.0B.1C.2D.3 2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是 _、_. 3.判断下列命题的真假. 若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应; 实数集的补集是虚数集,思维导引】利用复数的概念判断. 【解析】1.选B.对于,当zR时,z20成立,否则不成立,如z=i,z2=-10,所 以为假命题; 对于,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以为假命题; 对于,2i=0+2i,其实部是0,
4、所以为真命题,2.由题意得:a2=2,-(2-b)=3,所以a= ,b=5. 答案: 5 3.当a=0时,ai=0为实数,故为假命题. 由复数集的分类知,正确,是真命题,类题通法】判断与复数有关的命题是否正确的策略 (1)复数的代数形式: 若z=a+bi,只有当a,bR时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi, 而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构 成部分. (3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时, 可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答,定向训练】 1.已知纯虚数z=(a-1)+(a
5、-b)i,则实数a,b满足的条件是() A.a=1,b=1B.a1,b=1 C.a1,b1D.a=1,b1 【解析】选D.因为纯虚数z=(a-1)+(a-b)i,则a-1=0,且a-b0,所以a=1,b1,2.已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别是 _. 【解析】由题意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3. 答案:3,3,探究点二复数的分类 【典例2】1.已知xR,复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数,则z=_. 2.已知mR,复数z= +(m2+2m-3)i, 当m为何值时,z分别满足下列条件? (1)zR;(2)z是虚数;
6、(3)z是纯虚数,思维导引】 z=a+bi,解析】1.由于复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数,则实数x满足 解得 x=1,所以z=2i. 答案:2i 2.复数z= +(m2+2m-3)i,mR. (1)由zR,得 解得m=-3. (2)由z是虚数,得m2+2m-30且m-10, 解得m1且m-3,3)由z是纯虚数,得 解得m=0或m=-2,类题通法】 1.解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实部 和虚部. (2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问 题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组
7、即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,bR),z为实数b=0;z为虚数b0; z为纯虚数a=0且b0,2.复数分类的应用 (1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数, 首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是 “交”,非常关键,解答后进行验证是很必要的. (2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复 数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复 数问题的重要思路之一,定向训练】 1.若复数z=(m+1)+(m2-9)i0,则实数m的值等于_. 【解析】因为z0,所
8、以 所以m=-3. 答案:-3,2.已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i,当实数m取什么值时,复数z是(1)零;(2)纯 虚数. 【解析】(1)因为z是零,所以 解得m=1. (2)因为z是纯虚数,所以 解得m=0. 综上,当m=1时,z是零;当m=0时,z是纯虚数,补偿训练】 下列复数中,实数为_,虚数为_,纯虚数为_. (将序号填在相应的横线上) 1+2i;1-2i2;-3i;2i-3; 1+0i;cos +isin . 【解析】1+2i,-3i,2i-3是虚数;-3i是纯虚数;1-2i2=3,1+0i=1,cos +isin =-1,都是实数. 答案,探究点三复数相等及其应用
9、【典例3】1.已知复数z1=a+2i,z2=2(1+bi),若z1=z2,则实数a,b的值分别为 () A.a=1,b=1B.a=1,b=2 C.a=2,b=1D.a=2,b=2 2.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,求实数m的值及方程的实 数根,思维导引】1.根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值. 2.设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,bR)的形式解决,解析】1.选C.因为复数z1=a+2i,z2=2+2bi,且z1=z2,则实数a=2,2b=2,即a=2, b=1. 2.设a是原方程的实数根,则a2+(1-2i)a+(3m-i
10、)=0, 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以a2+a+3m=0且2a+1=0, 所以 且 所以 所以 ,方程的实数根为,类题通法】 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方 程组求参数的解. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了 条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则两个虚数不能比较大小,定向训练】 已知M=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i,P=-1,1,4i,若MP=P,则实数m的值为_. 【解析】因为MP=P,所以MP. 由
11、(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得 解之得m=1. 或由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得 解之得m=2. 综上可知m=1或m=2. 答案:1或2,补偿训练】 求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中xR,yR. 【解析】由复数相等的充要条件可知 解得,数系的扩充和复数的概念,1.数系的扩充. 2. 复数有关的概念,1)判断复数是实数、虚数或者纯虚数：保证复数的实部、虚部均有意义根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解 (2)复数相等求参数的步骤：分别确定两个复数的实部与虚部， 利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解,1)两个复数不
12、全是实数，就不能比较大小 (2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题. (3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为abi的形式，更要 注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部,1.数学抽象：复数及相关概念. 2.逻辑推理：复数的分类. 3.数学运算：复数相等求参数,1、复数的代数形式. 2、复数的实部、虚部. 3、虚数、纯虚数. 4、复数相等,课堂素养达标,1.复数z=(m2+m)+mi(mR,i为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为() A.0或-1B.0C.1D.-1 【解析】选D.因为z为纯虚数,所以 所以m=-1,2.下列命题中,正确命题的个数是() 若
13、x,yC,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1; 若a,bR且ab,则a+ib+i; 若x2+y2=0,则x=y=0. A.0B.1C.2D.3,解析】选A.由于x,yC,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数 相等的充要条件,是假命题. 由于两个虚数不能比较大小,所以是假命题. 当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,所以是假命题,3.已知x是方程x2=-1的解,则1+x=() A.1+iB.1-iC.1iD.0 【解析】选C.由x2=-1,可知x=i,所以1+x=1i,4.已知复数z=a-2 019i的实部与虚部互为相反数,则实数a=_. 【解析】由于复数z=a-2 019i=a+(-2 019)i的实部与虚部分别为a和-2 019, 且复数的实部与虚部互为相反数,则实数a=2 019. 答案:2 019
