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1、1反函数性质的应用本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来 源 课件 5Y k J.cO m 反函数性质的应用只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。利用反函数的定义求函数的值域例 1：求函数 y= 的值域。分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由 y= 得 y(2x+1)=x-1 (2y-1)x=-y-1x= x 是自变量，是存在的，2y-1 0， y
2、。2故函数 y= 的值域为： yy 。点评：形如 y= 的函数都可以用反函数法求它的值域。原函数与反函数定义域、值域互换的应用例 2：已知 f(x)=4 -2 ，求 f (0)。分析：要求 f (0)，只需求 f(x)=0 时自变量 x 的值。解：令 f(x)=0，得 4 -2 =0，2 （2 -2）=0 ，2 =2 或 2 =0（舍） ，x=1。故 f (0)=1。点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。原函数与反函数的图像关于直线 y=x 对称的应用例 3：求函数 y= （x (-1，+ )）的图像与其反函数图像的交点。分析：可以先求反函数，再联立方程组
3、求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线 y=x 对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线 y=x 上。解：由 得 或 原函数和反函数图像的交点为（0 ，0）和（1，1） 。点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线 y=x 对称的性质，可以简化运算，提高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线 y=x 上。3原函数与反函数的单调性相同的应用例 4：已知 f(x)=2 +1 的反函数为 f (x)，求 f (x)1 得 f (x)中的 x1。又f (x)0 且 f(x)=2 +1 在 R 上为增函数，f f(0)，xf(0)
4、=2。故 f (x)0 的解集为：x1x2。点评：利用原函数与反函数的单调性相同的性质，可以避免求反函数这一复杂的运算，从而减少了失误。原函数与反函数的还原性即 x 及 =x 的应用例 5：函数 f(x)= (a、b、c 是常数) 的反函数是 = ，求 a、b 、c的值。分析：本题可以利用 =x，将反函数的条件转化为原函数的关系来应用，利用恒等找到关于 a、b、c 的方程组，即可求解。解： = = = = =x(3a+b)x-a+2b=(c+3) +(2c-1)x 4点评： 上述解法利用了原函数与反函数的还原性，避免了求反函数 ，若求反函数 ，步骤非常烦琐，容易出现计算失误。文 章来 源 课件 5Y k J.cO m
