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1、二次函数专题训练（三角形周长最值问题）1如图所示，抛物线y=ax2+bx3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PEBC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由2如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称
2、，直线AD与y轴相交于点E（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q与点Q关于直线AM对称，连接M Q，P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的时，求APQM面积3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），且OC=OB，tanACO= （1）求抛物线
3、的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PHAD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由4如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x10x2），与y轴交于点C（0，3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tanOAC=3（1）求抛物线的函数解析式
4、；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由5已知：如图，直线y=x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（1，0）（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DEBC于E，作DFy轴交BC于F，求DEF周长的最大值（3）在满足第问的条件下，
5、在线段BD上是否存在一点P，使DFP=DBC若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由6如图，抛物线y=x2+（m1）x+m（m1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FGAD于G，FHx轴交直线AD于H，求FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式7如图，已知抛物线y=x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它
6、的对称轴对称（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EFx轴，EGy轴并交直线AD于点F、G，求EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由8如图，抛物线y=x2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PEy轴，交直线AC于点E，过点P作PGAC，垂足为G，当PEG周长最大时，在x轴上存在
7、一点Q，使|QPQC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QPQG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y与直线AD相交的一个交点为A，在平移的过程中，是否存在点A，使得点A，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由9如图，抛物线y=x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；过点P作PDBC于点D，作PMy轴交直线BC于点M，当PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；在的条件下，连接
8、AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将AOC顺时针旋转60得到AOC，将AOC沿直线OC平移，记平移中的AOC为AOC，直线AO与x轴交于点F，将OCF沿OC翻折得到OCF，当CCF为等腰三角形时，求此时F点的坐标参考答案与试题解析1如图所示，抛物线y=ax2+bx3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PEBC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求PEF周长的
9、最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）把A（1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx3，得到，解得，抛物线的解析式为y=x22x3（2）如图1中，连接PB、PC设P（m，m22m3），B（3，0），C（0，3），OB=OC，OBC=45，PFOB，PFE=OBC=45，PEBC，PEF=90，PEF是等腰直角三角形，PE最大时，PEF的面积中点，此时PBC的面积最大，则有SP
10、BC=SPOB+SPOCSBOC=3（m2+2m+3）+3m=（m）2+，m=时，PBC的面积最大，此时PEF的面积也最大，此时P（，），直线BC的解析式为y=x3，F（，），PF=，PEF是等腰直角三角形，EF=EP=，CPEF最大值=+（3）如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，3）点P横坐标为2，如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PFy轴于N，MEx轴，PEy轴易知PFNPEM，PF=PE，设P（m，m22m3），M（1，4），m=m22m3（4），m=或（舍弃），P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或2如图，抛物线y=x2
11、+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q与点Q关于直线AM对称，连接M Q，P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的时，求APQM面积【解答】解：（1）令x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3，A（1，0），C（0，3），点D，C关于抛物线
12、的对称轴对称，D（2，3），直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，x2+2x+3），FHx轴，H（x2+2x+2，x2+2x+3），FH=x2+2x+2x=（x）2+，FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知DAB=45，FHAB，FHG=DAB=45，FG=GH=故FGH周长的最大值为2+=；（3）当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的，PQ必过AM中点N（0，2），可知Q在y轴上，易知QQ的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，APQM是
13、矩形，易得直线AM解析式为：y=2x+2，MQAM，直线QQ：y=x+，4+p=2+，解得：p=，PN=，SAPQM=2SAMP=4SANP=4PNAO=41=5；当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的，PQ必过QM中点R（，4+），易得直线QQ：y=x+p+5，联立，解得：x=，y=，H（，），H为QQ中点，故易得Q（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（）x+p，将Q（，）代入到y=（）x+p得：=（）+p，整理得：p29p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），P（0，7），PN=5，SAPQM=2SAMP=2PN|xMxA|=252=10综上所述，APQM面积为5或103如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），且OC=OB，tanACO= （1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
