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1、二次函数专题训练(三角形周长最值问题)1如图所示,抛物线y=ax2+bx3与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)如图所示,直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PEBC于点E,作PF平行于x轴交直线BC于点F,求PEF周长的最大值;(3)已知点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,若点P是抛物线上一点,且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形?若存在,直接写出点P的横坐标;若不存在,说明理由2如图,抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D,C关于抛物线的对称轴对称
2、,直线AD与y轴相交于点E(1)求直线AD的解析式;(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FGAD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求FGH周长的最大值;(3)如图2,点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一动点,点Q是坐标平面内一点,四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形,点Q与点Q关于直线AM对称,连接M Q,P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的时,求APQM面积3如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(1,0),且OC=OB,tanACO= (1)求抛物线
3、的解析式;(2)若点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD下方的抛物线上有一点P,过点P作PHAD于点H,作PM平行于y轴交直线AD于点M,交x轴于点E,求PHM的周长的最大值;(3)在(2)的条件下,以点E为端点,在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N,使得NEP为锐角,在线段EB上是否存在点G,使得以E,N,G为顶点的三角形与AOC相似?如果存在,请求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由4如图(1),抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点(x10x2),与y轴交于点C(0,3),若抛物线的对称轴为直线x=1,且tanOAC=3(1)求抛物线的函数解析式
4、;(2 若点D是抛物线BC段上的动点,且点D到直线BC距离为,求点D的坐标(3)如图(2),若直线y=mx+n经过点A,交y轴于点E(0,),点P是直线AE下方抛物线上一点,过点P作x轴的垂线交直线AE于点M,点N在线段AM延长线上,且PM=PN,是否存在点P,使PMN的周长有最大值?若存在,求出点P的坐标及PMN的周长的最大值;若不存在,请说明理由5已知:如图,直线y=x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为(1,0)(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DEBC于E,作DFy轴交BC于F,求DEF周长的最大值(3)在满足第问的条件下,
5、在线段BD上是否存在一点P,使DFP=DBC若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由6如图,抛物线y=x2+(m1)x+m(m1)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,3)(1)求抛物线的解析式;(2)点D和点C关于抛物线的对称轴对称,点你F在直线AD上方的抛物线上,FGAD于G,FHx轴交直线AD于H,求FGH的周长的最大值;(3)点M是抛物线的顶点,直线l垂直于直线AM,与坐标轴交于P、Q两点,点R在抛物线的对称轴上,使得PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形,求直线l的解析式7如图,已知抛物线y=x2+2x+3与坐标轴交于A,B,C三点,抛物线上的点D与点C关于它
6、的对称轴对称(1)直接写出点D的坐标和直线AD的解析式;(2)点E是抛物线上位于直线AD上方的动点,过点E分别作EFx轴,EGy轴并交直线AD于点F、G,求EFG周长的最大值;(3)若点P为y轴上的动点,则在抛物线上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由8如图,抛物线y=x2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴与点D,已知点C(0,),连接AC(1)求直线AC的解析式;(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,过点P作PEy轴,交直线AC于点E,过点P作PGAC,垂足为G,当PEG周长最大时,在x轴上存在
7、一点Q,使|QPQC|的值最大,请求出这个最大值以及点P的坐标;(3)当(2)题中|QPQG|取得最大值时,直线PG交y轴于点M,把抛物线沿直线AD平移,平移后的抛物线y与直线AD相交的一个交点为A,在平移的过程中,是否存在点A,使得点A,P,M三点构成的三角形为等腰三角形,若存在,直接写出点A的坐标;若不存在,请说明理由9如图,抛物线y=x2+x+3交x轴于A、B两点,点A在点B的左侧,交y轴于点C(1)求直线AC与直线BC的解析式;(2)如图1,P为直线BC上方抛物线上的一点;过点P作PDBC于点D,作PMy轴交直线BC于点M,当PDM的周长最大时,求P点坐标及周长最大值;在的条件下,连接
8、AP与y轴交于点E,抛物线的对称轴与x轴交于点K,若S为直线BC上一动点,T为直线AC上一动点,连接EK,KS,ST,TE,求四边形EKST周长的最小值;(3)如图2,将AOC顺时针旋转60得到AOC,将AOC沿直线OC平移,记平移中的AOC为AOC,直线AO与x轴交于点F,将OCF沿OC翻折得到OCF,当CCF为等腰三角形时,求此时F点的坐标参考答案与试题解析1如图所示,抛物线y=ax2+bx3与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)如图所示,直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PEBC于点E,作PF平行于x轴交直线BC于点F,求PEF周长的
9、最大值;(3)已知点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,若点P是抛物线上一点,且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形?若存在,直接写出点P的横坐标;若不存在,说明理由【解答】解:(1)把A(1,0),B(3,0)两点坐标代入抛物线y=ax2+bx3,得到,解得,抛物线的解析式为y=x22x3(2)如图1中,连接PB、PC设P(m,m22m3),B(3,0),C(0,3),OB=OC,OBC=45,PFOB,PFE=OBC=45,PEBC,PEF=90,PEF是等腰直角三角形,PE最大时,PEF的面积中点,此时PBC的面积最大,则有SP
10、BC=SPOB+SPOCSBOC=3(m2+2m+3)+3m=(m)2+,m=时,PBC的面积最大,此时PEF的面积也最大,此时P(,),直线BC的解析式为y=x3,F(,),PF=,PEF是等腰直角三角形,EF=EP=,CPEF最大值=+(3)如图2中,当N与C重合时,点N关于对称轴的对称点P,此时思想MNQP是正方形,易知P(2,3)点P横坐标为2,如图3中,当四边形PMQN是正方形时,作PFy轴于N,MEx轴,PEy轴易知PFNPEM,PF=PE,设P(m,m22m3),M(1,4),m=m22m3(4),m=或(舍弃),P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或2如图,抛物线y=x2
11、+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D,C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E(1)求直线AD的解析式;(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FGAD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求FGH周长的最大值;(3)如图2,点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一动点,点Q是坐标平面内一点,四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形,点Q与点Q关于直线AM对称,连接M Q,P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的时,求APQM面积【解答】解:(1)令x2+2x+3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0),C(0,3),点D,C关于抛物线
12、的对称轴对称,D(2,3),直线AD的解析式为:y=x+1;(2)设点F(x,x2+2x+3),FHx轴,H(x2+2x+2,x2+2x+3),FH=x2+2x+2x=(x)2+,FH的最大值为,由直线AD的解析式为:y=x+1可知DAB=45,FHAB,FHG=DAB=45,FG=GH=故FGH周长的最大值为2+=;(3)当P点在AM下方时,如图1,设P(0,p),易知M(1,4),从而Q(2,4+p),PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的,PQ必过AM中点N(0,2),可知Q在y轴上,易知QQ的中点T的横坐标为1,而点T必在直线AM上,故T(1,4),从而T、M重合,APQM是
13、矩形,易得直线AM解析式为:y=2x+2,MQAM,直线QQ:y=x+,4+p=2+,解得:p=,PN=,SAPQM=2SAMP=4SANP=4PNAO=41=5;当P点在AM上方时,如图2,设P(0,p),易知M(1,4),从而Q(2,4+p),PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的,PQ必过QM中点R(,4+),易得直线QQ:y=x+p+5,联立,解得:x=,y=,H(,),H为QQ中点,故易得Q(,),由P(0,p)、R(,4+)易得直线PR解析式为:y=()x+p,将Q(,)代入到y=()x+p得:=()+p,整理得:p29p+14=0,解得p1=7,p2=2(与AM中点N重合,舍去),P(0,7),PN=5,SAPQM=2SAMP=2PN|xMxA|=252=10综上所述,APQM面积为5或103如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(1,0),且OC=OB,tanACO= (1)求抛物线的解析式;(2)若点D和点C关于抛物线的对称轴对称,