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1、等 比 数 列一、基础知识1定义与定义式从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2通项公式,推广形式:,变式3前n项和注:应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且5在等比数列中有如下性质: (1)若(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列.6证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若(2)等比中项法:若(3)通项法:若 (4)前n项和法:若7解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想运用等比数列的求和公式时
2、,需要对讨论当 ()二、范例剖析1关于基本公式的运用例1 已知等比数列中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an。详见优化设计P41典例剖析例1，解答略。变式：将该题中的等比数列改为等差数列，结果是多少？例2已知数列为等差数列，公差d0，的部分项组成下列数列：，恰为等比数列，其中k1=1, k2=5, k3=17，求k1+k2+k3+kn。详见优化设计P41典例剖析例2，解答略。2.关于等比数列的证明例3.数列的通项公式分别是它们公共项由小到大排列的数列是,写出的前5项 证明是等比数列思维分析:容易证明是等比数列,由定义式,只需找出中任意相邻两项关系即可.解(1) 的前5项为:8、32
3、、128、512、2048（2）设3.数学应用题-数列建模例4.一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米?思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出，再结合数列相关性质解题。解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了，因此球第十次着地时共经过的路程为练习 变式4：一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元,一年定期，若年利润率为r，保持不变，且每年到期时，存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回
4、，则取回总钱数为多少？解:4等比数列综合题例5 设各项均为正数的数列和满足，成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn。详见优化设计P 42典例剖析例3，解答略。备用题：（01年全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an、bn的表达式。（2）至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入？思维分析：建立等比数列模型解：（1） （2），至少经过5年。三、课堂小结1等比数列的定义、通项、中项、求和；2方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想；3适当注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度。四、课后作业优化设计
