《2020-2021学年苏教版数学选修课件-1.2.1常见函数的导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年苏教版数学选修课件-1.2.1常见函数的导数（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2导数的运算 1.2.1常见函数的导数,自我预习】 1.几个常见函数的导数 【微提醒】常数的导数为0,必备知识自主学习,k,0,1,2x,2.基本初等函数的导数公式 【微提醒】上述公式可分为四类:幂函数、三角函数、指数函数、对数函数,x-1,axln a,ex,思考】 (1)若y=3,则y=0. 提示:正确.因为3是常数. (2)若y=ln 2,则y= 提示:错误.因为ln 2也是常数,故(ln 2)=0,对于函数f(x)=ln x, f(x)=(ln x)= 当x=2时,f(2),3)若y= 则y= 提示:错误,自我总结】 1.常数函数的导数 (1)几何意义为函数图象在任意点处的切线垂直
2、于y轴,斜率为0; (2)物理意义:y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态,2.关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”; (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数; (3)对数函数的导数等于真数与底数的自然对数乘积的倒数. 提醒:对不能直接运用公式求导的要适当变形再求导.如y= =x-7,y,自我检测】 1.设函数f(x)=cos x, 则 =() A.1B.-1C.0D.-sin x 【解析】选C. =0=0,2.下列结论中,正确的是() A.(sin x)=cos x B. C.若y= 则y=
3、- D.(3x)=3x 【解析】选A.A正确.B. =0,故B错误.C.y= =x-2,y=-2x-3= 故C 错误.D.(3x)=3xln 3,故D错误,3.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为_,切线的斜率为_. 【解析】设切点为(x0, ), 则切线为y- = (x-x0), 将原点代入得x0=1, 所以切点为(1,e),切线斜率为e. 答案:(1,e)e,关键能力合作学习,类型一利用求导公式求函数的导数 【典例】1.f(x)=ex,若f(x0)=1,则x0=_. 2.求下列函数的导数:(1)y=x12;(2)y= ;(3)y= ; (4)y=2x;(5)y=log5x,思路导引】
4、1.利用求导公式计算f(x)=ex,再求解方程 =1. 2.首先观察函数解析式是否符合求导形式,若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式,解析】1.因为f(x)=ex,所以f(x)=ex, 又f(x0)= =1,得x0=0. 答案:0 2.(1)y=(x12)=12x11;(2)y= (3)y= ;(4)y=(2x)=2xln 2; (5)y=(log5x)=,方法技巧】 利用公式求导的两个关注点 (1)直接用公式:若所求函数符合基本初等函数导数公式,则直接利用公式求解. (2)变形用公式:对于不能直接利用公式的类型,关键是利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形,将其进行合理转化
5、为可以直接应用公式的基本函数的模式,如根式化成分数指数幂的形式等. 提醒:熟记公式方可灵活运用公式,变式训练】 设f(x)= 则f(x)=_,f(1)=_. 【解析】f(x)= 故f(x)= f(1)= 答案,类型二导数的几何意义及应用 【典例】1.曲线y=cos x在点A 处的切线方程为_. 2.曲线y= x2上切线倾斜角为 的点是_. 3.点P是曲线y=ex上任一点,求点P到直线y=x的最小距离,思路导引】1.求切线方程斜率y=cos x在点A 处的导数. 2.倾斜角为 斜率导数. 3.设切点为P(x0,y0),求切线方程,利用平行线间的距离公式求解,解析】1.因为y=(cos x)=-s
6、in x, 所以k=-sin =- ,所以在点A处的切线方程为 即x+2y- =0. 答案:x+2y- =0 2.设切点坐标为 , 则tan =f(x0)=x0,所以x0= .故所求点为 . 答案,3.设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图,则在点P(x0,y0)处的切线的斜率为1,当x=x0 时 y=1,因为y=(ex)=ex,所以 =1,得x0=0,代入y=ex, 得y0=1,即P(0,1), 利用点到直线的距离公式得d= 故点P到直线y=x的最小距离为,方法技巧】 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,
7、则在该点处切线的斜率就是该点处的导数. (2)如果已知点不是切点,则按以下步骤求解: 设:设出切点坐标(x0,y0); 写:写出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0); 求:代入已知点的坐标,求出x0,y0,得切线方程. 提醒:看清条件给的是在点P处还是过点P处的切线,变式训练】 已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为_. 【解析】因为y=3x2,而k=3,所以3x2=3,所以x=1,则P点坐标为(-1,-1)或(1,1). 答案:(-1,-1)或(1,1,类型三导数的综合应用 【典例】已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=f(x)=x2上两点,求与直线PQ
8、平行的曲线y=x2的切线方程. 【思路导引】切线方程斜率和切点kPQ和导数,解析】因为(x2)=2x, 设切点为M(x0,y0) 则f(x0)=2x0, 又因为PQ的斜率为k= =1,而切线平行于PQ, 所以k=2x0=1,即x0= 所以切点为M 所以所求切线方程为y- 即4x-4y-1=0,延伸探究】 1.是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程,若没有,说明理由,解析】假设存在与直线PQ垂直的切线, 因为PQ的斜率为k= =1, 所以与PQ垂直的切线斜率k=-1, 设切点为 则f(x1)=2x1, 令2x1=-1,则x1=- y1= 切线方程为y- 即4x+4y+1=0,2.若函数
9、改为y=f(x)=ln x,试求与直线PQ平行的切线方程. 【解析】设切点为(a,b),因为kPQ=1, 则由f(a)= =1,得a=1, 故b=ln 1=0, 则与直线PQ平行的切线方程为y=x-1, 即x-y-1=0,方法技巧】几何意义处理综合应用题的两种思路 (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线的方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题. (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量. 提醒:求出的切线方程尽量化为一般式,补偿训练】 1.曲线y=f(x)=e
10、x在点(2,e2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为_ _. 【解析】f(x)=ex,f(2)=e2, 所以切线方程为y=e2x-e2,与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-e2), 所以SAOB= 1e2= 答案,2.已知曲线y= 在点P(-1,-1)处的切线与直线m平行且距离等于 ,求直 线m的方程,解析】因为y=- 所以曲线在点P(-1,-1)处的切线斜率为k=-3, 则切线方程为y+1=-3(x+1),即3x+y+4=0. 设直线m的方程为3x+y+b=0(b4), 所以 所以|b-4|=10,所以b=14或b=-6, 所以直线m的方程为3x+y+14=0或3x+y-6=
11、0,核心素养培优区】 易错误区案例 利用导数公式求导 【典例】求下列函数的导数: (1)已知函数f(x)=ln 5,则f(x)=_. (2)已知函数f(x)= 则f(x)=_,错解案例】 (1)因为(ln x)= 所以(ln 5)= 所以f(x)= (2)因为 =- 所以 =- 所以f(x)=- 答案:(1) (2),正解】(1)因为f(x)=ln 5(常数),所以f(x)=0. (2)因为f(x)= (常数),所以f(x)=0. 答案:(1)0(2)0,即时应用】求下列函数的导数: (1)y=x13.(2)y= 【解析】(1)y=(x13)=13x13-1=13x12. (2)y,课堂检测素
12、养达标,1.函数f(x)=-10的导数是() A.0B.负数C.正数D.不确定 【解析】选A.因为f(x)=-10,所以f(x)=0,2.已知f(x)=ln x,则f(e)的值为_. 【解析】f(x)= ,所以f(e)= . 答案,3.函数f(x)=sin x在x= 处切线的斜率为_. 【解析】f(x)=(sin x)=cos x,当x= 时,f =cos = ,故f(x)在 x= 处切线的斜率为 . 答案,4.曲线y=f(x)= x2在点 处的切线的倾斜角为_. 【解析】因为y=f(x)=x,所以f(1)=1. 所以k=1=tan ,= . 答案,5.已知直线y=x-1是曲线y=ln x在某点处的切线,则切点坐标是 _. 【解析】y=(ln x)= ,令 =1,得x=1, 当x=1时,y=ln 1=0,故切点坐标是(1,0). 答案:(1,0
