《2021届新高考数学学与练2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届新高考数学学与练2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲解析版）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【考纲要求】1.一元二次不等式： (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.3培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1
2、，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)或ax2bxc0或f(x)0)，方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式b24ac000或f(x)0_x|xx2_x|xRf(x)0_x|x1x0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(2)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(3)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(4)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足.2含参数的一元二次不等式恒成立若能够分离参数成kf(x)形式则可以转化为函
3、数值域求解设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)kf(x)恒成立kf(x)恒成立kM，kf(x)恒成立kM.【考点梳理】考点一 ：二次函数的解析式【典例1】（2019黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理）已知二次函数满足且.（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，则，所以，解得：，.又，所以.（2）当时，恒成立，即当时，恒成立.设，.则，.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】1.已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式【答案】f
4、(x)4x24x7【解析】解法一(利用“一般式”解题)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.解法二(利用“顶点式”解题)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x，m.又根据题意，函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.解法三(利用“零点式”解题)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即8.解得a4或a0(舍)所求函数的解析式为f(x)4x24x7.2.（2019陕西省咸阳市实
5、验中学高一月考）已知二次函数满足：任意的，有成立，且最小值为，与轴交点坐标为（1）求的解析式；（2）是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在；【解析】（1）因为，所以是图象的对称轴，且最小值为，故可设，由得，所以，即；（2）假设存在实数满足题意，由（1）在上递减，在上递增，若，显然不合题意；若，则，不合题意，所以，即是方程的两不等实根，即，所以考点二：二次函数图象的识别【典例2】（2020山东省微山县第一中学高一月考）对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图像不可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】当时，函数单调递减，开口向下，对
6、称轴在y轴的左侧，排除C，D；当时，函数单调递增，开口向上，对称轴在y轴的右侧，排除B；故选：A【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式训练】（2019辽宁高考模拟（理）函数y=1-|x-x2|的图象大致是（ ）A BC D【答案】C【解析】当x=-1时，y=1-1-1=-1,所以舍去A,D,当x=2时，y=1-2-4=-1,所以舍去B,综上选C.考点三：二次函数的单调性问题【典例3】（2020山东省微山县第一中学高一月考）已知函数. （1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围;（2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由函数知，函数图象的对称
7、轴为. 因为函数在区间上具有单调性，所以或，解得或，所以实数的取值范围为. （2）解法一：若对切实数都成立，则，所以，化简得，解得，所以实数的取值范围为. 解法二：若对一切实数都成立，则， 所以， 化简得， 解得， 所以实数的取值范围为.【规律方法】研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论(2)若已知f(x)ax2bxc(a0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)【变式探究】（2019北京临川学校高二期末（文）若函数f(x)8x22kx7在1，5上为单调函数，则实数
8、k的取值范围是（ ）A(，8B40，)C(，840，)D8，40【答案】C【解析】由题意得，函数图象的对称轴为，且抛物线的开口向上，函数在1,5 上为单调函数，或，解得或，实数k的取值范围是故选C考点四：二次函数的最值问题【典例4】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数f(x)=|x2+a|+|x+b|(a,bR)，当x-2,2时，记f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值为_【答案】258【解析】去绝对值，fx=x2+ax+b，利用二次函数的性质可得，f(x)在-2,2的最大值为f(-2)，f(2)，f(-12)，f(12)中之一，所以可得M(a,b)f(
9、-2)=|4+a|+|-2+b|，M(a,b)f(2)=|4+a|+|2+b|，M(a,b)f(12)=|14+a|+|12+b|，M(a,b)f(-12)=|14+a|+|-12+b|，上面四个式子相加可得4M(a,b)2(|4+a|+|14+a|)+(|2-b|+|b+2|+|b+12|+|12-b|)2|4-14|+(|2+2|+|12+12|=252,即有M(a,b)258，可得M(a,b)的最小值为258故答案为258【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合
10、，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成【变式探究】（2019天津高考模拟（文）若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为_.【答案】【解析】设不等式对任意实数都成立，只需满足，即可.所以有因此实数的最大值为.考点五：二次函数的恒成立问题【典例5】（2018浙江省高三一模）已知在上恒成立，则实数的最大值为_【答案】【解析】设函数，则由题设得，所以，解得易知函数在上单调递增设，其中，则注意到，讨论如下：当时，函数在上单调递减，可得，从而根据在上恒成立知，只需满足，解得当时，函数在上单调递减，在上单调递增，可得，从而根据在上恒成立知，只需
11、满足，解得综上所述，故所求实数的最大值为故答案为：.【规律方法】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是： (1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析【变式探究】（2020天津市咸水沽第二中学高三一模）已知函数若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】由题意，当时，不等式可化为显然不成立；当时，不等式可化为，所以，又当时，当且仅当，即时，等号成立；当时，不等式可化为，即；因为存在使得关于x的不等式成立，所以，只需或.故答案为：.考点六：二次函数与函数零点问题【典例6】（2018浙江高考真题）已知R，函数f(x)=x-4,xx2-4x+3,x，当=2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】 (1,4) (1,3(4,+) 【解析】由题意得x2x-40或x
