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1、长春市20142015学年新高三起点调研考试数学试题卷(文科)【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）【题文】1. 已知集合，若，则A. B. C. 或 D. 或或
2、【知识点】子集的概念；元素的互异性.A1【答案解析】C 解析：由题可得或才能满足集合的互异性. 故选C.【思路点拨】利用集合的互异性即可.【题文】2. 如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则A. B. C. D. 【知识点】复数的除法运算.L4 【答案解析】D 解析：由图可知：，则. 故选D. 【思路点拨】由图得到复数和，代入后利用复数代数形式的除法运算化简求值【题文】3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 A. B. C. D.【知识点】函数奇偶性；函数单调性与函数极值. B4 B3 B12【答案解析】D 解析：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为
3、奇函数又存在极值. 故选D.【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论【题文】4. 已知向量、满足，则A. B. C. D. 【知识点】向量的运算；向量的几何意义.F3 【答案解析】C 解析：由，且可知，. 故选C. 【思路点拨】先把已知条件平方，再代入即可.【题文】5. 已知，则A. B. C. D. 【知识点】同角基本关系;二倍角公式. C2 C6【答案解析】B 解析：将两边平方得，可得，故选B. 【思路点拨】将已知条件两边平方即可得到结果.【题文】6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【知识点】三视图；几何体体积. G2 G
4、8 【答案解析】D 解析：由题意知：该几何体体积=半球体积-圆锥体积=，故选D.【思路点拨】由题意知：该几何体体积=半球体积-圆锥体积，然后利用公式可求得结果.【题文】7. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，则该等差数列的公差A. B. C. D. 【知识点】数列基本量的求法. D2【答案解析】B 解析：由题意，作差可得，即. 故选B. 【思路点拨】由题意，作差可得结果.【题文】8. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【知识点】初等函数的图像；充要条件.B6 B7 A2【答案解析】B 解析：如下图可知，“”“”，而 “” “”，
5、因此“”是“”的必要不充分条件. 故选B. 【思路点拨】结合图形进行双向判断即可.【题文】9. 某圆的圆心在直线上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为A. B. C. 或D. 或【知识点】圆的标准方程；弦长. H3 H4【答案解析】C 解析：由题意可设圆心为，半径为，则有或，解得，故选C. 【思路点拨】由题意可设圆心为，半径为，然后列出等式求解即可.【题文】10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16 D. 17【知识点】程序框图. L1【答案解析】C 解析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出. 故选C. 【思路点拨】通过分析循环，推出循环
6、规律，利用循环的次数，求出输出结果【题文】11. 函数的图像可能是A B C D 【知识点】绝对值函数；函数的值域、奇偶性和单调性. B4 B3 【答案解析】A 解析：由条件可知，该函数定义域为，且，所以该函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B、C，当时，从而排除D. 故选A. 【思路点拨】先根据已知判断函数的奇偶性，排除B、C，再利用当时，从而排除D即可.【题文】12. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是A. B. C. D. 【知识点】抛物线的几何性质；直线与抛物线的位置关系. H7 H8 【答案解析】D 解析：由题可知，点的横坐标时，满足
7、，此时，故直线（即直线）的斜率的取值范围是. 故选D.【思路点拨】由题可知，点的横坐标，结合已知条件，此时的范围，即可求出直线（即直线）的斜率的取值范围第卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).【题文】13. 若实数满足，则的最小值为_.【知识点】线性规划.E5 【答案解析】1 解析：由题可知，可行域如右图，目标函数的几何意义为过区域内点的直线的截距大小，故的最小值是1. 【思路点拨】由题可知画出可行域，再结合目标函数的几何意义即可.【题文】14. 某渔民在鱼塘中随机打捞出60条大鱼，对它们做了标记后放回鱼塘，在几天后的又一
8、次随机捕捞中打捞出80条大鱼，且其中包含标记后的大鱼5条，则鱼塘中大鱼的数量的估计值为_. 【知识点】用样本估计总体. I2【答案解析】960 解析：设鱼塘中大鱼数量的估计值为，有，从而估算出=960.【思路点拨】设鱼塘中大鱼数量的估计值为，然后列出方程计算即可.【题文】15. 若函数为偶函数，则_.【知识点】三角函数奇偶性；两角和差公式；诱导公式. C3 C5 C2【答案解析】 解析：由题意可知为偶函数，所以，根据，有【思路点拨】先根据已知条件判断出函数为偶函数，再利用的范围求之.【题文】16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为_. 【
9、知识点】几何体表面积. G8【答案解析】 解析：底面正三角形外接圆的半径为，圆心到底面的距离为，从而其外接圆的半径，则该球的表面积. 【思路点拨】先根据已知条件求出外接圆的半径，再代入球的表面积公式即可求得结果.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.【题文】17.（本小题满分10分）已知等比数列的各项均为正数，且，.(1) 求数列的通项公式；(2) 设，求数列的前项和. 【知识点】等比数列通项公式；等比数列前项和公式. D3【答案解析】(1) (2) 解析：(1) 设等比数列的公比为，有，解得，所以；（5分）(2) 由(1)知，有，从而. （10分）
10、【思路点拨】(1)先把已知条件联立可解得，然后再利用等比数列通项公式求之即可； (2) 先由(1)求出，再分别求等差等比数列的和然后相加化简即可. 【题文】18.（本小题满分12分）在中，三个内角、所对的边分别为、，且. (1) 求角；(2) 若的面积，求的值. 【知识点】正弦定理与余弦定理；三角形面积. C8 【答案解析】(1) (2) 解析：(1) 根据正弦定理可化为即整理得，即，. （6分）(2) 由面积，可知，而，所以，由可得为等边三角形，所以. （12分）【思路点拨】(1) 先利用正弦定理把边转化为角，再利用三角形的内角和进行转化化简即可. (2) 由面积公式得到，与联立可得结果.【
11、题文】19.（本小题满分12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率. 【知识点】古典概型；随机抽样. K2 I1【答案解析】(1) (2) 解析：(1) 设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”,则(6分
12、)(2) 设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为，从中选出两人的所有基本事件如下：，共15个，其中使得事件成立的为，共4个，则. （12分）【思路点拨】(1) 直接利用概率公式即可； (2) 设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为，然后列举出所有基本事件，再找出使得事件成立事件，利用概率公式即可.【题文】20.（本小题满分12分）如图所示
13、几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点. (1) 求证：平面；(2) 当正方体棱长等于时，求三棱锥的体积. 【知识点】空间直线与平面的垂直关系；几何体体积.B4 C3 D1【答案解析】(1) 见解析 (2) 解析：(1) 证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，；（6分）(2) 由题意知，点到的距离为，则的面积为，由(1)知平面所以. （12分）【思路点拨】(1) 直接利用线面垂直的判定死定理即可； (2) 由题意知，点到的距离为，再求出的面积，然后代入体积公式.【题文】21.（本小题满分12分）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点. 的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭
14、圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点. 记的面积为，的面积为，求的取值范围.【知识点】椭圆的离心率；直线和椭圆的综合应用. H5 H8【答案解析】(1) (2) 9 解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，因此椭圆的离心率为.（4分）(2) 由(1)可知，椭圆的方程为. 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）.因为，所以，.由与相似，所以. （12分）【思路点拨】(1) 设，则根据椭圆性质得后即可求出离心率； (2) 先求出椭圆的方程，然后设直线的方程，再联立转化为关于x的方程，由与相似可得的表达式，最后求出范围即可. 【题文】22.（本小题满分12分）已知函数，其中为实数，常数. (1) 若是函数的一个极值点，求的值；(2) 当取正实数时，求函数的单调区间；(3) 当时，直接写出函数的所有减区间. 【知识点】函数与导数；导数的运算，函数的单调性、极值；函数与不
