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1、2005年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国2理科卷)试题精析详解一、选择题(5分12=60分)(1)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是(A) (B) (C) (D)2 【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想.【正确解答】,f(x)的最小正周期为.选C【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断,但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半.如的最小正周期为,但是,的最小正周期也是,因此,对函数的性质的运用必须从定义出发,要学会用定义来研究问题.(2)正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么,正方体的过P、
2、Q、R的截面图形是(A)三角形 (B)四边形(C)五边形 (D)六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力,根据公理1可从P、Q在面内作直线,根据公理2,得到面与各棱的交点,与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段.【正确解答】画图分析.作直线PQ交CB的延长线于E,交CD的延长F,作直线ER交的延长线于G,交于S,作直线GF交于H,交 H,连结PS,RT,HQ,则过P、Q、R的截面图形为六边形PQHTRS,故选D.【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及3个推论是确定平面的含义,但不必深入研究.(3)函数y=1(x0)的反函数是(A)y=(x1) (B)y=(x1)(C)y=(x0) (
3、D)y=(x0)【思路点拨】本题考查反函数的求法.要求反函数的三步曲(一是反解、二是x、y对调,三是求出反函数的定义域,即原函数的值域)进行,或用互为反函数的性质处理.【正确解答】解法1:由y=1,且x0,解得,其中,.则所求反函数为y=(x1).解法2:分析定义域和值域,用排除法.选B.【解后反思】选择题中考查反函数的解法时,一般只需验证定义域和值域即可,以达到快速高效之目的,因此,深刻理解互为反函数的概念和性质是关键,并要注意在求出反函数后注明定义域,这是求反函数必不可少的一步.(4)已知函数在(,)内是减函数,则(A)01 (B)10(C)0 (D)1【思路点拨】本题考查参数对于函数性质
4、的影响.【正确解答】由正切函数的性质,正切函数在(,)上是增函数,而在(,)内是减函数,所以,即.选B【解后反思】学生在解题过程中只注意到,而容易忽略的符号对函数单调性的影响.(5)设a、b、c、dR,若为实数,则(A)bc+ad0 (B)bcad0(C)bcad0 (D)bc+ad=0【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则.【正确解答】,由为实数,所以bc-ad=0.选C【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化,有助于提高运算速度.(6)已知双曲线1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1x轴,则F1到直线F2M的距离为(A) (B) (C) (D)【思路点拨】本题主要考
5、查双曲线的基础知识,只要依据分析双曲线的相关几何性质进行等价转化即可.【正确解答】由题意知,设为左焦点,为右焦点,则,设所求距离为,则由,得.选C【解后反思】利用面积相等来求点到直线的距离应用较广,应引起重视. (7)锐角三角形的内角A、B满足tanA=tanB,则有(A)sin2AcosB=0 (B)sin2A+cosB=0(C)sin2AsinB=0 (D)sin2A+sinB=0【思路点拨】解斜三角形问题必须注意题目所设置的情况,从已知等式的左边进行化简,产生2A、B的三角函数之间的关系.【正确解答】是锐角三角形,而,即.选A.【解后反思】解三角函数问题时,要注意角的唯一性,也就是说要将
6、角化到同一单调区间内进行求解.这是难点也是关键之处.起(8)已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有,其中等于(A)2 (B) (C)3 (D)【思路点拨】本题考查平面向量的基础知识,可根据点的特殊位置,利用角平分线的性质,就可求E点坐标.【正确解答】由题意可知是直角三角形且,.选C【解后反思】灵活运用相关知识是解决问题的有效手段,本题可用向量法,也可由坐标法、都要求出点C坐标,但相对来说,用平几知识比较方便.(9)已知集合Mxx23x280,N=x|x2x60 ,则MN为(A)x|4x2或3x7 (B)x|4x2或3x7(C)x|x2或x3 (D
7、)x|x2或x3【思路点拨】本题考查不等式的解法和集合的运算,可采用直接法,化简两集合时要注意不等式中的等号情形,防止漏点或产生多余的点.【正确解答】,.选A【解后反思】四个二次(一元二次不等式、一元二次方程、二次函数、二次三项式)始终是高考中考查覆盖面最大的代数知识.它们之间的等价转换要借助数形结合思想处理,必须牢固地掌握.(10)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v(4,3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位),设开始时点P的坐标为(10,10),则5秒后点P的坐标为(A)(2,4) (B)(30,25) (C)(10,5) (D)(5,10)【思路点拨】本题利用
8、物理知识考查向量坐标公式的由来,借助图形正确地找出经过t秒后点的C的位置.【正确解答】由题意可得t秒后点P的坐标为,t=5时,P点坐标为(10,5).选C.【解后反思】数学学科中各个知识点都是有定义的.定义的理解与掌握是解决一切问题的基础的基础,回归定义,理解定义是学习数学的起点,也是落脚点.(11)如果a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列,公差d0,则(A)a1a8a4a5 (B)a1a8a4a5 (C)a1+a8a4+a5 (D)a1a8=a4a5【思路点拨】本题考查等差数列的基础知识和化归思想,最有效的办法是将数列的通项转化为首项及公差来探索其大小.【正确解答】由得,()选B【解后反
9、思】灵活运用等差数列的性质可简化运算,而对于本题等差数列来说,一般方法,即转化为首项和公差处理,是最基本的方法,要牢固掌握.(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为(A) (B)2+ (C) (D)【思路点拨】本题考查正四面体的性质和空间想象能力,恰当地对几何体进行分割,确定钢球的球心的位置是一关键.【正确解答】由题意可知,四个球心为顶点的小正四面体与原正四面体有公共中心,当正四面体的表面积最小时,四个钢球的圆心在正四面体内也构成一个小正四面体,且两个正四面体有相同的中心.把4个小球的球心连起来,得到棱长为2的正四面体,且该四面体的中心与原四面体
10、的中心是同一点.先求任意正四面体的中心到侧面的距离与高之比:连接中心与4个顶点,得到4个正三棱锥.底面积相等,由等体积法知,所以,该比为.而棱长为a的正四面体的高为,所以,棱长为2的正四面体,高为,现在将其中心到侧面的距离4,得到这个正四面体的高的最小值为,选C.【解后反思】选择适当的截面,把立几问题平面化(降维)是解决此类问题的基本思路.二、填空题(4分4= 16分)(13)圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为_.【思路点拨】本题考查点到直线的距离公式和圆的方程的求法,只要求出点到直线的距离就求出了圆的半径.【正确解答】圆心(1,2)到直线的距离为圆的半径,所以.所以
11、圆的方程为.【解后反思】解析几何主要是以代数方法研究几何问题,但并不能忽视几何性质,更确切地来说,要充分挖掘其几何性质,才能使问题解决更快、更活,如直线和圆相切,就有多种研究方法,请学习时认真总结.(14)设为第四象限的角,若,则tan2=_.【思路点拨】本题考查三角变换能力,需要学习和体会三角变换的技巧,达到角和函数的统一.【正确解答】,因为,所以,又,所以.【解后反思】适当选择三角公式可以使问题得到简化.三角函数求值主要是考虑的是角和函数的差异,同时要注意由角的范围来确定三角函数值的符号. (15)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_个.【思
12、路点拨】本题考查排列组合的基础知识及转化能力,注意分类讨论思想的运用.【正确解答】解法1:数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数共有个,能被5整除的没有重复数字的四位数共有个,所以不能被5整除的数共有192个.解法2:因为不能被5整除的四位数中,其末位不是5的倍数,所以,不能被5整除的四位数共有:个.【解后反思】“不能”通常用减法可简化运算,在本题中偏偏反其道而行之.慎之!同时,解排列组合问题时要正确运用加乘原理,应把复杂的问题分成简单问题(分步、分类)做到既不重复又不遗漏.(16)下面是关于三棱锥的四个命题: 底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
13、 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. 侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中,真命题的编号是_.(写出所有真命题的编号)【思路点拨】本题考查三棱锥的基础知识和逻辑推理能力,理解顶点在三棱锥底面上的射影与底面三角形的关系就可解决.【正确解答】如图,三棱锥中,作平面于O,作于D,作于E,作于F,连结OD,OE,OF,则分别是侧面与底面所成的二面角的平面角.是正确的.因为侧面与底面所成的二面角都相等,所以,OD=OE=OF,即O是的中心,且底面是等边三角形,是错误的.如,是错误的. 如果顶点在底面上的投影是底面正三角形的旁心,也是可以得出侧面积相等的结论,是正确的. 侧棱与底面所成的角都相等,则顶点在底面的投影是底面三角形的外心;侧面与底面所成的二面角都相等,则顶点在底面的投影是底面三角形的内心,外心与内心重合的三角形是正三角形,且是三角形的中心,故填、.【解后反思】必须深刻掌握正棱锥的定义(底面是正三角形,顶点在底面上的射影是三角形中心的三棱锥是正三棱锥)及其等价条件.三、解答题(共6小题,共74分) (17)(本小题满分12分)设函数f(x)=2