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1、因式分解小结【知识精读】 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式; 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式; 3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式; 5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式; 6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解; 7. 因式分解的一般步骤是: (1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能
2、否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;-方法:1. 提公因式法形如 2. 运用公式法平方差公式:,完全平方公式:3. 十字相乘法 4. 分组分解法 (适用于四次或四项以上,分组后能直接提公因式 分组后能直接运用公式)。总结:因式分解的一般步骤第一步提取公因式法第二步看项数1两项式:平方差公式2三项式:完全平方公式、十字相乘法3四项或四项以上式: 分组分解法(一) 因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解,
3、也叫分解因式。 并强调三点:1.多项式,2.整式,3.积.因式分解与整式运算有何关系?因式分解整式乘法因式分解与整式运算之间是互逆关系!因式分解整式乘法多项式整式的积(二)、巩固概念1、下列代数式从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1). x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2). 2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3). (5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4). x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5). (a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6). m2-4=(m+2)(m-2) 因式分解 (7). 2R+ 2 r
4、= 2 (R+r) 因式分解 注意:因式分解与整式运算之间是互逆关系!2、判断下列各式是否是因式分解。都不是因式分解!注意:分解的对象必须是多项式!都不是因式分解!前两个变形为部分化积,不是整体化积!注意:分解的结果必须是整式乘积的形式。都是不彻底的因式分解!注意:因式分解要分解到不能分解为止,即:分解彻底!-1、 提公因式法. ma+mb = m(a+b) ma+mb+mc = m(a+b+c) 练习:分解因式 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:(1)(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-
5、b); (2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2; 练习:分解因式 三、十字相乘法. (一)二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式进行分解。 特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积; (3)一次项系数是常数项的两因数的和。 思考:十字相乘有什么基本规律? 例5、分解因式: 分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6),从中可以发现只有23的分解适合,即 2+3=5。 1 2解:= 1 3 = 12+13=5 用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要
6、等于一次项的系数。 例6、分解因式:解:原式= 1 -1 = 1 -6 (-1)+(-6)= -7 练习5、分解因式(1) (2) (3) 练习6、分解因式(1) (2) (3) (二)二次项系数不为1的二次三项式 条件:(1) (2) (3) 分解结果:= 例7、分解因式:分析: 1 -2 3 -5 (-6)+(-5)= -11解:= 练习7、分解因式:(1) (2) (3) (4) (三)二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式: 分析:将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解:= = 练习8、分解因式
7、(1) (2) (3) (四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式= 解:原式= 练习9、分解因式:(1) (2) 综合练习10、(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)四、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式: 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但 从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。解:原式= = 每组之间还有公因式! = 例2、分解因式:解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解:原式= 原式= = = = = 练习:分解因式1、 2、(二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式: 分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。 解:原式= = = 例4、分解因式: 解:原式= = = 练习:分解因式3、 4、 综合练习:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)