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1、1空间向量与立体几何一、知识网络：空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离直线的方向向量与平面的法向量用空间向量证平行与垂直问题求空间角求空间距离二考纲要求：（1）空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的
2、应用 理解直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） ； 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测 10 年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教2材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何
3、解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2了解空间向量的基本定理； 3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。学生阅读复资 P128 页，教师点评，增强目标和参与意识。
4、（二） 、知识梳理，方法定位。 （学生完成复资 P128 页填空题，教师准对问题讲评） 。1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率baABO)(RP加法交换率： .ab加法结合率： ).()(cc数乘分配率： 说明：引导学生利用右图验证加法交
5、换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。 平行于 记作 。aba注意：当我们说 、 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是ab平行直线；当我们说 、 平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量 （ ） 、 ， 的充要条件是存在实数 使0 B CbO Aa3ba（1）对于确定的 和 ， 表示空间与 平行或共线，长度为 | |，当 0 时abaa与 同向，当 的大小(其中ab0 。ab)解析：（1）答案：13；解析：（2
6、 ） =2 2 =2| |2| | |cos120=2425（ ）abab21=13。 （2）解：(1)| |=| |=1，x 21+y =1，x 2=y =1.又 与 的夹角为 4， =| | |cos 4= 21=6.acac又 =x1+y1，x 1+y1= 26。另外 x 2+y =(x1+y1)2-2x1y1=1，2x 1y1=( 26)21= .x 1y1= 4。(2)cos= =x1x2+y1y2，由(1)知，x 1+y1=6，x 1y1= .ab|10x 1，y 1是方程 x26x+ 41=0 的解. ,46,1yx或 .426,1y同理可得 ,426,2yx或 .426,2yx
7、 ， ,426,12yx或 .426,1yxabcos= + =1+ 4= 2.0，= 3。评述：本题考查向量数量积的运算法则。ab题型 3：空间向量的应用例 4、 （1）已知 a、b、c 为正数，且 a+b+c=1，求证： 13a+ b+ 13c4 。（2）已知 F1=i+2j+3k，F 2=-2i+3j-k，F 3=3i-4j+5k，若 F1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点 M1（1，-2，1）移到点 M2(3，1，2)，求物体合力做的功。解析：（1）设 =( 3， ， c)， =(1，1，1)，mn则| |=4，| |= .n | | |， = 13a+ b+ 13c|
8、| |=4 3.m当 1= = 时，即 a=b=c= 时，取“=”号。（2）解： W=Fs=(F1+F2+F3) 21M=14。点评：若 =(x，y，z)， =(a，b，c)，则由 | | |，得(ax+by+cz)mnnmn2(a 2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| | | 的应ab用，解题时要先根据题设条件构造向量 ， ，然后结合数量积性质进行运算。空间向量a的数量积对应做功问题。（三） 、强化巩固训练1、(07 天津理，4)设 、 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则ab（ ） （ ） = | | | | （ ） （ 0abbca）
9、 不与 垂直 （3 +2 ） （3 2 ）=9| |24| |2中，是真命题的有（ ）abcA. B. C. D.解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；答案：D由向量的减法运算可知| |、| |、| |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之aba11差小于第三边” ，故真；因为（ ） （ ） =（ ） （ ） =0，所以bcabcacabc垂直.故假；（3 +2 ） （3 2 ）=9 4 =9| |24| |2成立.故真.aab点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。2、已知 O为原点，向量 3,01,AOBCOAB ，求 AC解：设 , 2CxyzBxyz ， A ， C， R， 30,1
10、23,01xzy，即0,3,2.xzyz解此方程组，得 71,0xy。（四） 、小结： (1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程 第三课时 空间向量及其运算强化训练一、复习目标：1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定
11、理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步熟练理解和掌握上述概念和运算方法，提高学生的灵活和综合运用能力。二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。三、教学方法：讲练结合，探析归纳。四、教学过程12（一） 、基础自测（分组训练、共同交流）1.有 4 个命题：若 p=xa+yb，则 p 与 a、b 共面；若 p 与 a、b 共面，则 p=xa+yb；若 =x +y ，则 P、M、A、B 共面；若 P、M、A、B 共面，则 =x +y .M
12、PA MPAB其中真命题的个数是（ B ） 。A.1 B.2 C.3 D.42.下列命题中是真命题的是( D )。A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.若|a|=|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量 ， 满足| | |，且 与 同向，则 ABCABCDABCDABCDD.若两个非零向量 与 满足 + =0，则 3.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 ab，则 （ C ） 。A.x=1,y=1 B.x= ，y=-21C.x= ，y=- D.x=- ，y=6123634.已知 A（1，2，3） ，B（2，1，2） ，P
13、（1，1，2） ，点 Q 在直线 OP 上运动，当 取QAB最小值时，点 Q 的坐标是 . 答案 38,45.在四面体 O-ABC 中， =a, =b, =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点，则 = OABOC OE(用 a,b,c 表示). 答案 a+ b+ c214（二） 、典例探析例 1、如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，设 =a，1A=b， =c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C 1D1的中点，ABD试用 a，b，c 表示以下各向量： （1） ；（2） ；（3） + .A1MP1N解 （1）P 是 C1D1的中点， = + + =a+ + =a+c+
14、 =a+c+ b.A1DPA21CD21AB21（2）N 是 BC 的中点， = + + =-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.1BB（3）M 是 AA1的中点， MP= A+ = + =- a+(a+c+ b)= a+ b+c，21AP212121又 = + = + = + = c+a， M+ =( a+ b+c)+(a+ c)1NC2BC12D11NC= a+ b+ c.2313例 2、如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N分别是 AB、CD 的中点.（1）求证：MNAB，MNCD；（2）求 MN 的长；（3）求异面直线 AN 与 CM 夹角的
15、余弦值.（1）证明 设 =p, =q， =r.ABCAD由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且 p、q、r 三向量两两夹角 均为 60.= - = （ + ）- = （q+r-p） ，MN2121B = （q+r-p）p= （qp+rp-p 2）= （a 2cos60+a2cos60-a2）AB 1=0.MNAB,同理可证 MNCD.（2）解 由（1）可知 = （q+r-p）| |2= 2= （q+r-p） 2MN21MN41= q 2+r2+p2+2（qr-pq-rp） = a2+a2+a2+2（ - - ）4 41a= 2a2= . | |= a,MN 的长为 a.1a2(3)解 设向
