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1、 中考数学全国试题汇编-二次函数和四边形综合题25（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=axa为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线y=x2x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动
2、时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；（2）过A作ADy轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，可证EFHACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（1，t），由A、C
3、的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标【解答】解：（1）抛物线y=x2x+2，其梦想直线的解析式为y=x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，A（2，2），B（1，0），故答案为：y=x+；（2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作ADy轴于点D，在y=x2x+2中，令y=0可求得x=3或x=1，C（3，0），且A（2，2），AC=，由翻折的性质可知AN=AC=，AMN为梦想三角形，N点在y轴上，且AD=2，在RtAND中，由勾股定理可得DN=3，OD=2，ON=23或ON=2+3，N点坐标为（0，23）或（0，2+3）；（
4、3）当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，则有ACEF且AC=EF，ACK=EFH，在ACK和EFH中ACKEFH（AAS），FH=CK=1，HE=AK=2，抛物线对称轴为x=1，F点的横坐标为0或2，点F在直线AB上，当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，E到y轴的距离为EHOF=2=，即E点纵坐标为，E（1，）；当F点的横坐标为2时，则F与A重合，不合题意，舍去；当AC为平行四边形的对角线时，C（3，0），且A（2，2），线段AC的中点坐标为（2.5，），设E（1，t），F（x，y），则x1=2（2.5），y+t=2，x=4，y
5、=2t，代入直线AB解析式可得2t=（4）+，解得t=，E（1，），F（4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（1，）、F（0，）或E（1，）、F（4，）25（2017湖北襄阳）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0t10）（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PEBC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，PBE=OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PMBQ，交CQ于点M，作PNCQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正
6、方形时，请求出t的值【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得PBEOCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得COQQAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在RtBCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值【解答】解：（1）在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，C（0，4），四边形OAB
7、C为矩形，且A（10，0），B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，来源:Zxxk.Com抛物线解析式为y=x2+x+4；（2）由题意可设P（t，4），则E（t， t2+t+4），PB=10t，PE=t2+t+44=t2+t，BPE=COD=90，PBE=OCD，PBEOCD，=，即BPOD=COPE，2（10t）=4（t2+t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），当t=3时，PBE=OCD；（3）当四边形PMQN为正方形时，则PMC=PNB=CQB=90，PM=PN，CQO+AQB=90，CQO+OCQ=90，OCQ=AQB，RtCOQRtQAB，=，即OQAQ=COA
8、B，设OQ=m，则AQ=10m，m（10m）=44，解得m=2或m=8，当m=2时，CQ=2，BQ=4，sinBCQ=，sinCBQ=，PM=PCsinPCQ=t，PN=PBsinCBQ=（10t），t=（10t），解得t=，当m=8时，同理可求得t=，当四边形PMQN为正方形时，t的值为或25（2017江苏宿迁）.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），将该抛物线位于轴上方曲线记作，将该抛物线位于轴下方部分沿轴翻折，翻折后所得曲线记作，曲线交轴于点，连接、（1）求曲线所在抛物线相应的函数表达式；（2）求外接圆的半径；（3）点为曲线或曲线上的一个动点，点为轴上的一个动点，
9、若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标【答案】（1）；(2) ；（3）点的坐标分别为.（2）因为抛物线交轴于、两点，所以A(-1,0),B(3,0),则线段AB的垂直平分线的直线为x=1，因为曲线交轴于点（0，3），所以OC=OB,又COB=90，所以线段BC的垂直平分线为直线y=x，联立 ，解得，所以ABC的外接圆圆心坐标为（1，1），由勾股定理可得，所以ABC的外接圆半径为；所以;综上所述，点的坐标分别为.来源:Z_xx_k.Com28（2017山东济南）如图，矩形的顶点，的坐标分别为，直线交于点，抛物线过，两点（）求点的坐标和抛物线的表达式（）点是抛物线对称轴上一动点，当时，求所
10、有满足条件的点的坐标（）如图，点，连接，将抛物线的图象向下平移个单位得到抛物线设点平移后的对应点为点，当点恰好落在直线上时，求的值当时，若抛物线与直线有两个交点，求的取值范围【答案】见解析【解析】解：（），在中，抛物线过，两点，解得抛物线的表达式为（）抛物线的对称轴为设点，即，整理得解得，故，（）由题意知，抛物线的表达式为，设直线的表达式为，则解得直线的表达式为点在直线上，解得由知，当抛物线经过点时，的值为；当时，设直线与抛物线交于点，则，解得或（舍去）；来源:学#科#网当抛物线与直线只有一个交点时，联立消去，整理得，由，解得综上可知，所求的取值范围为25（2017山东威海）如图，已知抛物线y
11、=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）点M、N为抛物线上的动点，过点M作MDy轴，交直线BC于点D，交x轴于点E（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NFx轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若DMN=90，MD=MN，求点M的横坐标【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）设点M坐标为（m，m2+2m+3），分别表示出ME=|m2+2m+3|、MN=2m2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，a2+2a+3）
12、，则点N（2a，a2+2a+3）、点D（a，a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x3），将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（03），解得：a=1，所求抛物线解析式为y=（x+1）（x3）=x2+2x+3；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=1，如图1，设点M坐标为（m，m2+2m+3），ME=|m2+2m+3|，M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，点N的横坐标为2m，MN=2m2，四边形MNFE为正方形，ME=MN，|m2+2m+3|
13、=2m2，分两种情况：当m2+2m+3=2m2时，解得：m1=、m2=（不符合题意，舍去），当m=时，正方形的面积为（22）2=248；当m2+2m+3=22m时，解得：m3=2+，m4=2（不符合题意，舍去），当m=2+时，正方形的面积为2（2+）22=24+8；综上所述，正方形的面积为24+8或248（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：，解得：，直线BC的函数表达式为y=x+3，设点M的坐标为（a，a2+2a+3），则点N（2a，a2+2a+3），点D（a，a+3），点M在对称轴右侧，即a1，则|a+3（a2+2a+3）|=a（2a），即|a23a|=2a2，若a23a0，即a0或a3，a23a=2a2，解得：a=或a=1（舍去）；若a23a0，即0a3，a23a=22a，解得：a=1（舍去）或a=2；点M在对称轴右侧，即a1，则|a+3（a2+2a+3）|=2aa，即|a23a|=22a，若a23a0，即a0或a3，a23a=22a，解得：a=1或a=2（舍）；若a23a0，即0a3，a23a=2a2，解得：a=（舍去）或a=；综上，点M的横坐标为、2、1、【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程是解题的关键25（2017山东烟台）如图1，抛物线y=a
