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1、绝密启用前2020年山东新高考数学模拟猜题专项汇编（3）导数注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题1.已知函数是偶函数,当时,则曲线在处的切线方程为（）A.B.C.D.1.答案：A解析：因为,所以曲线在处的切线方程为.二、填空题2.已知直线与曲线相切，则的值为_.2.答案：3解析：依题意得,因此曲线在切点处的切线的斜率等于，.此时,即切点坐标为相应的切线方程是，即直线，3.已知函数在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数a的最大值为_.3.答案：2解析：定义在R上
2、的函数关于原点对称,函数为R上的奇函数。令,则为奇函数。，当时,不等式在单调递增。函数在R上单调递增。不等式恒成立,.当时,，则,可得时,函数取得极小值即最小值,.此时正整数a的最大值为2.对于时,恒成立。综上可得：正整数a的最大值为2.故答案为：2.三、多项选择题4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.函数在区间内单调递增B.当时，函数取得极小值C.函数在区间内单调递增D.当时，函数有极小值4.答案：BC解析：对于A，函数在区间内有增有减，故A不正确；对于B，当时，函数取得极小值，故B正确；对于C，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，当时，故D不正确.
3、5.已知，记，则()AM的最小值为B当M最小时，CM的最小值为D当M最小时，5.答案：BC解析：由，得：，的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，由得：，与直线平行的直线的斜率为，则令，解得：，切点坐标为到直线的距离，即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为，的最小值为，过与垂直的直线为，即，由，解得：，即当M最小时，6.定义:若函数在区间上的值域为,则称区间是函数的“完美区间”.另外,定义区间的“复区间长度”为,已知函数,则（）A.是的一个“完美区间”.B.是的一个“完美区间”.C.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为.D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
4、.6.答案：AC解析：设的“完美区间”为,易知.当时,由的图象知在上单调递减,所以解得,此时.当时,若,则,解得,此时;若,则最小值为,不合题意;若,则由图象知在上单调递增,所以解得(舍去).综上,函数的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为.四、解答题7.已知函数(1)若函数在处取得极值1，证明：；(2)若恒成立，求实数a的取值范围.7.答案：（1）.函数在处取得极值1，且，令，则，为增函数，即.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立.令，则.令，则.，.在上单调递增，且.有唯一零点，且.当时，单调递减；当时，单调递增.由整理得，令，则方程等价于，而在上恒大于零，在上单调递增，实数a的
5、取值范围为.解析：8.已知函数.(1)若，求函数在处的切线方程;(2)讨论极值点的个数;(3)若是的一个极小值点，且，证明:8.答案：解：（1）当时所以.从而在处的切线方程为.即.（2）当时在上是增函数，不存在极值点当时，令显然函数在是增函数，又因为必存在使为减函数为增函数所以，是的极小值点综上：当时无极值点当时有一个极值点（3）由（2）得：即因为所以令在上是减函数且由得所以.设所以为增函数，即即所以所以所以因为，所以相乘得所以结论成立解析：9.已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且（1）讨论的单调性；（2）求实数和的值；（3）证明.22 9.答案：解：（1）由已知可得函数的定义域为，且，令
6、，则有，由，可得，可知当x变化时，的变化情况如下表：1-0+极小值，即，可得在区间单调递增；（2）由已知可得函数的定义域为，且，由已知得，即，由可得，联立，消去a，可得，令，则，由（1）知，故，在区间单调递增，注意到，所以方程有唯一解，代入，可得，；（3）证明：由（1）知在区间单调递增，故当时，可得在区间单调递增，因此，当时，即，亦即，这时，故可得，取，可得，而，故解析：10.已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前n项和为，证明：10.答案：（1）由，得.当时，方程的，因式在区间上恒为负数.所以时，函数在区间上单调递减.又，所以函数在区间上恒成立；当时，方程有两个不
7、等实根，且满足，所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间上单增，又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意；当时，在区间上，函数在区间上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为.（2）由第1知：若时，.若，则，即成立.将换成，得成立，即，以此类推，得，上述各式相加，得，又，所以解析：11.已知函数.（）若函数在上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（）若，对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围.11.答案：（）易知不是常值函数，在上是增函数，恒成立，所以，只需；（）因为，由1知，函数在上单调递增，不妨设，则，可化为，设，则，所以为上的减函数，即在上
8、恒成立，等价于在上恒成立，设，所以，因，所以，所以函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）所以即m的最小值为12解析：12.已知函数.(1)若在上恒成立，求的取值范围，并证明：对任意的，都有；(2)设，讨论方程实数根的个数.12.答案：解：（1）由可得，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故在处取得最大值，要使，只需，故的取值范围为，显然，当时，有，即不等式在上成立，令，则有，所以，即：；（2）由可得，即，令，则，当时，单增，当时，单减，故在处取得最大值，又当时，当时，所以，当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个不同的实数解；当时，方程没有实数解.解析：13.函数，曲线在点处的切线在
9、y轴上的截距为(1)求a；(2)讨论的单调性；(3)设，证明：13.答案：(1),又,故曲线在点处的切线方程为,其在y轴上的截距为.依题设,解得.(2)易知,则.显然恒成立,所以在上单调递增.(3)由1知,故单调递减,.由2知单调递增,.当时,.当时,.故,所以.因为,所以.解析：14.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,设,且,证明:.14.答案：(1),当时,则在上单调递增.当时,令,得,则的单调递增区间为.令,得,则的单调递减区间为.(2)设,则.由,得;由,得,故.从而.,即.,从而.解析：15.设函数（1）讨论函数的单调性；（2）如果对所有的，都有，求实数a的最小值；（3）已知
10、数列中，且，若数列的前n项和为，求证：15.答案：（1）的定义域为，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增（2）设，则因为，故,当时，所以在单调递减，而，所以对所有的，即；当时，若，则，单调递增，而，所以当时，即，不合题意；当时，所以在单调递增，而，所以对所有的，即，不合题意综上，满足题意，即a的最小值为2（3）由得，由得，所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，,由第2问知时，即，令，得，即因为所以故解析：16.已知函数.(1)设函数,讨论的单调性;(2)设函数,若的图象与的图象有两个不同的交点,证明:.16.答案：(1),.当时,在上单调递增,在上单调递减.当时,令,得,所以在,上单调递增;令,得,所以在上单调递减.当时,在上单调递增.当时,令,得,所以在上单调递增;令,得,所以在上单调递减.(2),因为函数的图象与的图象有两个不同交点,所以关于x的方程,即有两个不同的根.由题知,+得,-得.由,得,不妨设,记.令,则,所以在上单调递增,所以,所以.所以,即.令,则在上单调递增.又,所以,即,所以.两边同时取对数可得,得证.解析：15
