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1、含参数的不等式恒成立问题的处理策略耒阳一中 付运平含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等的解集求参数的取值范围。学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法。一、分离变量法对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。例 1不等式- 2cos2x+4sinx-k2+k（2 sinx+1）2max 3 或 k f(x)ming(k)f(x) g(k) g(k) f(x) maxg(k)f(x)
2、g(k) f(x) max 10 或 Kx2 0（0( 2 )2loga 21 1 1即 a 2 m 16 故 m 的取值范围是 16 ,1)四、简价化归化归是一种重要的思想方法，含参数的不等式恒成立问题也可用一个与之等价的命题来代替它，从而实现化归。例 4若不等式（x-1）log 32 a-6xlog3 a+x+1 0 在0，1上恒成立，求实数 a 的取值范围。解：令 f(x) = (x-1) log32 a -6xlog3 a+x+1即 f(x) =x ( log32 a -6log3 a+1)+1- log32 af(0) 0 1-log32 a 0f(x) 0 在0，1 上恒成立 f(
3、1) 0 即 2-log32 a 0 1 1解之得：-1 0 恒成立，求实数 a 的取值 范围。解：当 x2，+时| loga x | 0 恒成立当 x2，+ 时 loga x 1 或 loga x -1若 x2，+ loga x 1 恒成立loga x 1 x2，+ a 1 从而 y = loga x 在2，+上单调 增加 x2，+ loga x 1 log a2 1 解得 a -1 恒成立loga x -1 x2，+ 0 -1 loga 2 121 2 0 在 R 上恒成立2x2+2mx+m4x2+6x+3 2x2+2mx+m 2x2+(6-2m)x+3-m0 xR =(6-2m) 2 8
4、(3-m) 0一般地 f(x)=ax2+bx+c 恒正 0七、利用基本不等式基本不等式可用来帮助我们求解含参数的不等式恒成立的问题。例 7设 n 是自然数对任意的 x, y, z 恒有（x 2+y2+z2）2n(x4+y4+z4)4，求 n 的最小值。解：在三元均值不等式 a2+b2+c2 a+b+c 中3 3 x4+y4+z4x2+y2+z2令 x2=a y2=b z2=c 则有33变形即得（x 2+y2+z2）23 x4+y4+z4故当 n=3 时不等式恒成立。在（x 2+y2+z2）2n(x4+y4+z4)4中令 x2=y2=z2则有9 x43nx4 n3故 n 的最小值是 3。利用不等式求解含参数不等式恒成立问题的方法是：先设法确定参数的取值范围，再说明端点能够实现不能实现，从而准确地得到参数的取值范围。以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种方式或两种以上的方法，应灵活处理。
