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1、2010 年高考数学易错专题点睛五 立体几何【原题】如图，已知平面 ，且 设梯形 ABCD 中，ADBC，且 AB ，CDl，求证：AB，CD， 共点（相交于一点） l【错误分析】：AB，CD 是梯形 ABCD 的两条腰，必定相交于一点 M，只要证明 M 在 上，而l是两个平面 ， 的交线，因此，只要证明 M，且 M 即可l【答案】见解析【解析】 梯形 ABCD 中，ADBC， AB，CD 是梯形 ABCD 的两条腰 AB，CD 必定相交于一点， 设 AB CD M 又 AB ，CD ， M，且 M M 又 ， M ， 即 AB，CD， 共点lll【易错点点睛】证明多条直线共点时，与证明多点共
2、线是一样的【原题】已知：a，b，c，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d 共面 这四条直线两两相交，则设相交直线 a，b 确定一个平面 设直线 c 与 a，b 分别交于点 H，K，则 H，K又 H，Kc， c 同理可证 d a，b，c，d 四条直线在同一平面 内【易错点点睛】证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义【原题】在立方体 ABCDA 1B1C1D1中，（1）找出平面 AC 的斜线 BD1在平面
3、 AC 内的射影；（2）直线 BD1和直线 AC 的位置关系如何？（3）直线 BD1和直线 AC 所成的角是多少度？【错误分析】： 学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影【答案】见解析【解析】(1)连结 BD, 交 AC 于点 O .上 的 射 影在 平 面就 是 斜 线平 面 ACBDACD11,(2)BD1和 AC 是异面直线.(3)过 O 作 BD1的平行线交 DD1于点 M，连结 MA、MC，则MOA 或其补角即为异面直线 AC 和BD1所成的角.不难得到 MAMC，而 O 为 AC 的中点，因此 MOAC，即MOA90，异面直线 BD1与 AC 所成的角为 90.【易错点点睛】异
4、面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.【原题】由平面 外一点 P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为 A,B,C，O 为ABC 的外心，求证： .O【错误分析】：因为 O 为ABC 的外心，所以 OAOBOC，又因为 PAPBPC，PO 公用，所以POA，POB，POC 都全等，所以 POA POB POC ，所以 .2OP【答案】见解析【解析】取 BC 的中点 D，连 PD、OD， ,PBCO,ABP.BCPOC面 同 理 ，【易错点点睛】证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即
5、可.这些从本题证法中都能十分明显地体现出来【原题】如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=3，AA 1=4,M 为 AA1的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 点的最短路线长为 ，设这条最短路线与 C1C 的交点为29N,求: （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC 和 NC 的长；（3）平面 NMP 和平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）【错误分析】：（1）不知道利用侧面 BCC1 B1展开图求解,不会找 的线段在哪里;(2)不29会找二面角的平面角.1,6021CHPCHPRt 中 ，在 54tanCHNNRt中 ，
6、在【易错点点睛】此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.【原题】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 BB1 的中点，O 是底面正方形 ABCD 的中心，求证：OE 平面 ACD1【错误分析】：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明 OE 平面 ACD1 ，只要在平面 ACD1 内找两条相交直
7、线与 OE 垂直【答案】见解析【解析】连结 B1D 、A !D 、BD ，在B 1BD 中，E,O 分别是 B1B 和 DB 的中点，EOB 1D B 1A1 面 AA1D1D ，DA 1 为 DB1 在面 AA1D1D 内的射影又AD 1 A1D ，AD 1 DB1 同理可证B1D D1C 又AD 1 ，AD 1,D1C 面 ACD1 ，B 1D 平面 ACD1 B 1DOE ，OE 平面ACD1 【易错点点睛】在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线” ，如果用“无数”或“两
8、条”都是错误的.【原题】如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 N 在 BD 上, 点 M 在 B1C 上,且 CM=DN,求证:MN平面 AA1B1B.【错误分析】：在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用.【答案】见解析【解析】法一.如图,作 MEBC,交 BB1于 E,作 NFAD,交 AB 于 F,连 EF 则 EF 平面 AA1B1B.证法三.如图,作 MPBB 1,交 BC 于点 P,连 NP.MPBB 1,.1PBCMBD=B1C,DN=CM, .1N.,1 NBDPCNBDMCNPCDAB. 面 MNP面 AA1B1B.MN平面 AA1B
9、1B.【易错点点睛】辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用【原题】点 是边长为 4 的正方形 的中心，点 ， 分别是 ， 的中点沿OABCDEFADBC对角线 把正方形 折成直二面角 DACBAC（1）求 的大小；EOF（2）求二面角 的大小A又在 中， ，222()()01.EOF2 222(3)1cosOEF10EOF（2）过点 G 作 GM 垂直于 FO 的延长线于点 M，连 EM二面角 DACB 为直二面角，平面 DAC平面 BAC，交线为 AC，又EGAC，EG平面 BACGMOF，由三垂线定理，得 EMOF 就是二面角 的平面角在 Rt
10、EGM 中，EMEOFA， ， ， 90EGM21GMOEtan2EGM所以，二面角 的大小为arctnFArcta【易错点点睛】注意二面角的范围是 ，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，,0这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式 ,用的时候要进行交代.在S/cos二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果 ”；ll， 则，且 ,方法三：公式 等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角） 、数据在不同的面上S/cos转换.【原题】如图，在棱长为 1 的正方体 中， 是侧棱 上的一点，1DCBAp1C.mCP（1）试确定 ，使得直线 与平面 所成角的
11、正切值为 ；mAP1BD23（2）在线段 上是否存在一个定点 ，使得对任意的 ， 在平面 上的射1CQmQD11AP影垂直于 .并证明你的结论.AP【错误分析】：直线和平面所成的角求法：“一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角 ，那么所要求的角为 2或2。【答案】 （1）m （2）点 Q 应当是 AICI的中点3【解析】法一（1）连 AC，设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 相交于点，,连结 OG，1BD因为 PC平面 ，平面 平面 APCOG,1BD1B（2）可以推测，点 Q 应当是 AICI的中点 O1，因为D1O1A 1C1
12、, 且 D 1O1A 1A ，所以 D 1O1平面 ACC1A1，又 AP 平面 ACC1A1，故 D 1O1AP.那么根据三垂线定理知，D 1O1在平面 APD1的射影与 AP 垂直。解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)（2）若在 A1C1上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为 ，则 Q(x，1 ，1)，xx。1(,0)DQx依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP，等价于 D1QAP即 Q 为 A1C1的中点时，满足题设要求。1()0.2Pxx【易错点点睛】求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.
