2010年高考数学压轴题跟踪演练系列五

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1、备战 2010 高考数学压轴题跟踪演练系列五1 (本小题满分 14 分)已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1(c,0) 、F 2(c,0) ,Q 是椭圆外的动)0(12bayx点,满足 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足.|1QF0|,22TP()设 为点 P 的横坐标,证明 ;x xacP|1()求点 T 的轨迹 C 的方程;()试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使F 1MF2 的面积 S= 若存在,求F 1MF2.2b的正切值;若不存在,请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应用,以及综合

2、运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分.()证法一:设点 P 的坐标为 ),(yx由 P 在椭圆上,得),(yx.)()(|2 2221xacxabcxF由 ,所以 3 分0,c知 .|1xacPF证法二:设点 P 的坐标为 记).,(yx,|,| 21rr则 .)(2221 ycrcr由 .|,4, 112 xacrPFxa得证法三:设点 P 的坐标为 椭圆的左准线方程为).(y0由椭圆第二定义得 ,即acx|21 .|21xcxc由 ,所以 3 分0,ax知 .|1aPF()解法一:设点 T 的坐标为 ).,(yx当 时,点( ,0)和点( ,0)在轨迹上.|PTaa当| 时,由 ,得

3、 .|2F且 |2TFP2TFP又 ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.|Q在QF 1F2 中, ,所以有aO|1| .22ayx综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 7 分.2解法二:设点 T 的坐标为 当 时,点( ,0)和点( ,0)在轨迹上.).,(yx|PT当| 时,由 ,得 .0|2FP且 2F2TFP又 ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. |Q设点 Q 的坐标为( ) ,则yx,.2,ycx因此 .2,ycx由 得 aQF|1 .4)(22ay将代入,可得 x综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 7 分.22yx()解法一:C 上存在点 M( )使 S= 的充要条件是0,b

4、.|21,20bycax由得 ,由得 所以,当 时,存在点 M,使 S= ;a|0 .|20ccba22b当 时,不存在满足条件的点 M.11 分cb2当 时, ,a ),(),( 0201 yxcMFyxcF由 ,2201 baM,21212cos| ,得in| FFS .2tan1F解法二:C 上存在点 M( )使 S= 的充要条件是0,yx2b.|2120bcax由得 上式代入得.|0y .0)(22420 cbacbax于是,当 时,存在点 M,使 S= ;cba2当 时,不存在满足条件的点 M.11 分当 时,记 ,cba2 cxykcxykMFMF0201,由 知 ,所以 14 分

5、,|21F92 .2|1|tan2k2 (本小题满分 12 分)函数 在区间( 0,+)内可导,导函数 是减函数,且 设)(xfy )(xf .0)(xf是曲线 在点( )得的切线方程,并设函数mkx,0( )(xfy,0 .)(mkxg()用 、 、 表示 m;x)(0f0f()证明:当 ;)(,xfg时()若关于 的不等式 上恒成立,其中 a、b 为实数,x ),02312 在ba求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的

6、能力. 满分 12 分()解: 2 分).()(00xffm()证明:令 .0)(,)(),0 xhfxfhgh则因为 递减,所以 递增,因此,当 ;)(xf)(x 时当 .所以 是 唯一的极值点,且是极小值点,可知 的0,0时 0)( )(xh最小值为 0,因此 即 6 分,)(xh.xfg()解法一: , 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.1ba对任意 成立的充要条件是0)(,22 bx即 ), .)1(2ba另一方面,由于 满足前述题设中关于函数 的条件,利用(II)的结果可知,32xf)(xfy的充要条件是:过点(0, )与曲线 相切的直线的斜率大于 ,该切线的方程为32x

7、b32a.)(21by于是 的充要条件是 10 分32xa.)2(1ba综上,不等式 对任意 成立的充要条件是321x),0.)()2(21bab显然,存在 a、b 使式成立的充要条件是:不等式 .)1(2)(b有解、解不等式得 .42因此,式即为 b 的取值范围,式即为实数在 a 与 b 所满足的关系. 12 分()解法二: 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立 .0,1a对任意 成立的充要条件是0)(22 bxx即 ),x8 分.)1(2ba令 ,于是 对任意 成立的充要条件是3xx32xba),0由.0)(.0)(331得当 时 当 时, ,所以,当 时, 取最小值.因此3ax;

8、xa0)(x3ax)(x成立的充要条件是 ,即 10 分)()(3.21b综上,不等式 对任意 成立的充要条件是221xbx),.)()2(1ab显然,存在 a、b 使式成立的充要条件是:不等式 2121)()(b有解、解不等式得 .422b因此,式即为 b 的取值范围,式即为实数在 a 与 b 所满足的关系. 12 分3 (本小题满分 12 分)已知数列 的首项 前 项和为 ,且na15,nnS*15()nSN(I)证明数列 是等比数列;1na(II)令 ,求函数 在点 处的导数 并比较 与2()nfxxa ()fx1(1)f2(1)f的大小.231n解:由已知 可得 两式相减得*5()nS

9、nN12,4nS即 从而 当 时 所以112n1nana1215S又 所以 从而216a221故总有 , 又 从而 即数列 是等比数列;12()nna*N15,0a2na1na(II)由(I)知 3n因为 所以21()nfxaxa 112()nfxx从而 =2n 23(32)= - =32 1 16n由上 - =2(1)3nf2=12 ()n()(1)当 时,式=0 所以 ;213fn当 时,式=-12 所以2n0()当 时,3又 0111nn nnCC 21n所以 即 从而20()f234(本小题满分 14 分)已知动圆过定点 ,且与直线 相切,其中 .,02p2px0p(I)求动圆圆心 的

10、轨迹的方程;C(II)设 A、B 是轨迹 上异于原点 的两个不同点,直线 和 的倾斜角分别为 和 ,当OOAB变化且 为定值 时,证明直线 恒过定点,并求出该定点的坐标.,(0) yAxoB,02pFMNx解:(I)如图,设 为动圆圆心, 为记为 ,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,由M,02pFM2pxN题意知: 即动点 到定点 与定直线 的距离相等,由抛物线的定义知,点 的FN2pxM轨迹为抛物线,其中 为焦点, 为准线,所以轨迹方程为 ;,02p 2(0)ypxP(II)如图,设 ,由题意得 (否则 )且 所以直线 的12,AxyB12x12,AB斜率存在,设其方程为 ,显然 ,将 与 联

11、立消去kb12,ypykxb(0)ypxP,得 由韦达定理知 x20kyp1212,pk(1)当 时,即 时, 所以 ,2tan1212,0yxy所以 由知: 所以 因此直线 的方程可表示为21204yp124yp24pbk.pkAB,即 所以直线 恒过定点kxP()0kxAB,0(2)当 时,由 ,得 = =tan()tan1t将式代入上式整理化简可得: ,所以 ,12()4py 2tpbk2tapbk此时,直线 的方程可表示为 即ABykxtan()0tnxy所以直线 恒过定点 2,tp所以由(1) (2)知,当 时,直线 恒过定点 ,当 时直线 恒过定点AB2,0p2AB.,tanp5

12、(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 的方程为 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、142yx右顶点分别是 C1 的左、右焦点.()求双曲线 C2 的方程;()若直线 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A:kxyl和 B 满足 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围.6OA解:()设双曲线 C2 的方程为 ,则12byax .1,314222 bcaa得再 由故 C2 的方程为 .13yx(II)将 .0428)41(4222 kxkk得代 入由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得 ,0)(6)(

13、6)8( 2221 kk即 .42.0926)31(322 kxkyxkxy得代 入将由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得.13.0)1(36)(6)(,0122 222 kkk且即 )2)(,66 319,31),(),( 22 BABAB BABABAkxxyxyOkx而得由 则设.1373169)(12 222kkkA解此不等式得.05,622即于 是.315k或由、得 .1422或故 k 的取值范围为 )1,53(),21(),3()5,( 6 (本小题满分 12 分)数列a n满足 .)1(2)1(12nanan且()用数学归纳法证明: ;()已知不等式 ,其中无理数 e=2.71828.)(:,0)l( 2exn证 明成 立对()证明:(1)当 n=2 时, ,不等式成立 .2a(2)假设当 时不等式成立,即)2(kn ),2(k那么 . 这就是说,当 时不等式成立.21)(1kkaa 1n根据(1) 、 (2)可知: 成立.nk对 所 有()证法一:由递推公式及()的结论有 )1.()21(2)1(21

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