《2009届高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2009届高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。12009 届高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五1 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1（c，0） 、F 2（c，0） ，Q)0(12bayx是椭圆外的动点，满足 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，.|1QF并且满足 0|,22TP（）设 为点 P 的横坐标，证明 ；x xac|1（）求点 T 的轨迹 C 的方程；（）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F 1MF2 的面积 S= 若存在，求F 1MF2.2b的正切值；若不存在，请说明理由. w.w.w.
2、k.s.5.u.c.o.m本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分.（）证法一：设点 P 的坐标为 ).,(yx由 P 在椭圆上，得),(yx.)()(|2 2221xacxabcxF由 ，所以 3 分0,c知 .|1xacPF证法二：设点 P 的坐标为 记).,(yx,|,| 21rr则 .)(2221 ycrcr由 .|,4, 112 xacrPFxa得证法三：设点 P 的坐标为 椭圆的左准线方程为).(y0由椭圆第二定义得 ，即acx|21 .|21xcxc高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大
3、教师踊跃来稿，稿酬丰厚。2由 ，所以 3 分0,acxax知 .|1xacPF（）解法一：设点 T 的坐标为 ).,(y当 时，点（ ，0）和点（ ，0）在轨迹上.|P当| 时，由 ，得 .|2F且 |2TFP2TFP又 ，所以 T 为线段 F2Q 的中点.|Q在QF 1F2 中， ，所以有aO|1| .22ayx综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 7 分.2解法二：设点 T 的坐标为 当 时，点（ ，0）和点（ ，0）在轨迹上.).,(yx|PT当| 时，由 ，得 .0|2FP且 2F2TFP又 ，所以 T 为线段 F2Q 的中点. |Q设点 Q 的坐标为（ ） ，则yx,.2,ycx因
4、此 .2,ycx由 得 aQF|1 .4)(22ay将代入，可得 x综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 7 分.22yx（）解法一：C 上存在点 M（ ）使 S= 的充要条件是0,b.|21,20bycax由得 ，由得 所以，当 时，存在点 M，使 S= ；a|0 .|20ccba22b当 时，不存在满足条件的点 M.11 分cb2高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。3当 时， ，cba2 ),(),( 0201 yxcMFyxcF由 ，2201 baM，21212cos| ，得in| FFS .2tan1F解法二：C 上存在点 M（ ）使 S= 的充要条件是
5、0,yx2b.|2120bcax由得 上式代入得.|0y .0)(22420 cbacbax于是，当 时，存在点 M，使 S= ；cba2当 时，不存在满足条件的点 M.11 分当 时，记 ，cba2 cxykcxykMFMF0201,由 知 ，所以 14 分,|21F92 .2|1|tan2k2 （本小题满分 12 分）函数 在区间（ 0，+）内可导，导函数 是减函数，且 设)(xfy )(xf .0)(xf是曲线 在点（ ）得的切线方程，并设函数mkx,0( )(xfy,0.)g（）用 、 、 表示 m；0x)(0f)(0xf（）证明：当 ；)(,xfg时（）若关于 的不等式 上恒成立，其
6、中 a、b 为实数，x ),02312 在ba求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。4断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分 12 分（）解： 2 分).()(00xffm（）证明：令 .0)(,)(),0 xhfxfhgh则因为 递减，所以 递增，因此，当 ；)(xf)(x 时当 .所以 是 唯一的极值点，且是极小值点，可知0,0时 0)(的)(xh最小值为 0，因此 即 6 分,)
7、(xh).(xfg（）解法一： ， 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.1b0a对任意 成立的充要条件是)(,22 bx即 ),0.)(21a另一方面，由于 满足前述题设中关于函数 的条件，利用（II）的32xf)(xfy结果可知， 的充要条件是：过点（0， ）与曲线 相切的直线的斜率大bxb32于 ，该切线的方程为a.)2(1bxy于是 的充要条件是 10 分3xb.)(21a综上，不等式 对任意 成立的充要条件是321xb),0.)()2(21ab显然，存在 a、b 使式成立的充要条件是：不等式 .)1(2)(b有解、解不等式得 .42b因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在
8、 a 与 b 所满足的关系. 12 分（）解法二： 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立 .0,1a对任意 成立的充要条件是0)(22 bxx即 ),x高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。58 分.)1(2ba令 ，于是 对任意 成立的充要条件是32xx32xba),0由.0)(.0)(331得当 时 当 时， ，所以，当 时， 取3ax;xa0)(x3ax)(x最小值.因此 成立的充要条件是 ，即 10 分)( 3.)2(1ba综上，不等式 对任意 成立的充要条件是3221xbx,.)()2(1ab显然，存在 a、b 使式成立的充要条件是：不等式 212
9、1)()(b有解、解不等式得 .422b因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在 a 与 b 所满足的关系. 12 分3 （本小题满分 12 分）已知数列 的首项 前 项和为 ，且na15,nnS*15()nSN（I）证明数列 是等比数列；（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较21()nfxxa ()fx(1)f与 的大小.223n解：由已知 可得 两式相减得*15()SnN12,4nS即 从而 当 时1nn1nana1所以 又 所以 从而2261522a故总有 ， 又 从而 即数列 是1()nna*N1,0a1n1na等比数列；（II）由（I）知 32nn因为 所以1()nfxaxa
10、 112()nfxaxa高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。6从而 =12()nfaa 23211(321)n= - =32 6n由上 - =2()3nf2=12 11(1)n()(1)当 时，式=0 所以 ；23fn当 时，式=-12 所以2n0()当 时，31又 01nn nnCC 21n所以 即 从而20()f231n4(本小题满分 14 分)已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中 .,02p2px0p（I）求动圆圆心 的轨迹的方程；C（II）设 A、B 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和OOAB，当 变化且 为定值 时，证明直线
11、 恒过定点，并求出该定点,(0)的坐标.解：（I）如图，设 为动圆圆心， 为记为 ，过点 作直线 的垂线，M,2pFM2px垂足为 ，由题意知： 即动点 到定点 与定直线 的距离相等，NFN由抛物线的定义知，点 的轨迹为抛物线，其中 为焦点， 为准线，所,02p2px以轨迹方程为 ；2(0)ypxP（II）如图，设 ，由题意得 （否则 ）且 所12,ABy12x12,0xyAxoB,02pFMNx高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。7以直线 的斜率存在，设其方程为 ，显然 ，将 与ABykxb221,yxpykxb联立消去 ，得 由韦达定理知2(0)ypxPx20
12、p1212,pbykk（1）当 时，即 时， 所以 ，tan1212,0yxy所以 由知： 所以 因此直线 的方程21204yp214yp24pbk.pkAB可表示为 ，即 所以直线 恒过定点kxP()0kxyAB2,0（2）当 时，由 ，得 = =tan()tan1t将式代入上式整理化简可得： ，所以 ，12()4py 2tpbk2tapbk此时，直线 的方程可表示为 即ABykxtan()0tnxy所以直线 恒过定点 2,tp所以由（1） （2）知，当 时，直线 恒过定点 ，当 时直线 恒AB2,0p2AB过定点 .,tanp5 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C1 的方程为 ，双曲线
13、C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点，142yx而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点.（）求双曲线 C2 的方程；（）若直线 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点，且 l 与:kxylC2 的两个交点 A 和 B 满足 （其中 O 为原点） ，求 k 的取值范围.6O高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。8解：（）设双曲线 C2 的方程为 ，则12byax.,3142 cbaa得再 由故 C2 的方程为 .12yx（II）将 .0428)41(422 kxkk得代 入由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得 ,0)(6)(6)28( 221 kk即 .4.0926)31(3222 kxkyxkxy得代 入将由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不
