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1、1第 1 组 数量经济理论与方法字数：8742中国数量经济学会会员 门限协整套利理论与实证研究Threshold Cointegration ArbitrageTheory and Application吴洋（中南财经政法大学，湖北武汉，430073）摘要不同市场上的同质或相似商品的价格存在长期均衡关系，当价格偏离均衡时，由于套利交易的存在，偏离会迅速回到均衡。在一定的门限值以外，二者服从协整关系，在门限值以内，二者没有协整关系，这种关系称为门限协整。本文在 Balke,Fomby(1997)1和Hasen（ 1996） 6的基础上提出了基于门限向量误差修正模型（T-VECM ）的 sup-W
2、ald 检验，用 Bootstrap 方法模拟统计量的渐进分布，验证了英国富时指数期货（uk100）和德国法兰克福指数期货（ger30）的门限协整关系，并用 Hasen，Seo（2002） 11提出的极大似然估计方法（MLE）同时估计出门限参数和协整向量，并给出了在这种门限协整关系下进行跨市场无风险套利的策略。关键词：门限协整；跨市场套利；股指期货；门限误差修正模型；Bootstrap作者简介：吴洋，1988 年 3 月生，武汉大学 2006 级物理学学士，现为中南财经政法大学数量经济学专业 2010 级硕士，联系方式15972216876，21 引言假设两个同质或相似的商品在两个不同的市场进
3、行交易，根据一价定律（LOOP） ，它们应该具有相同的价格，两个不同的市场之间存在长期的均衡关系（协整关系） ，当价格偏离均衡时，就会有套利机会存在。人们通过同时买空（卖空）被低估（高估）的商品和卖空（买空）被低估（高估）的商品，来获取无风险收益。但是由于两个市场地理上是分隔的，发现这种偶然的价格差异需要时间，加上交易成本，交易头寸限制，市场非有效性等因素的存在，这种套利并不总是有利可图的。人们期望寻找到一个门限，当价格偏离均衡值超过这个门限时，就认为着套利是可行的。即这种长期协整关系并非是线性的，在某些区域，由于套利收益被交易成本等因素抵消，因此不存在套利交易，两个市场的价格倾向于服从随机游
4、走；在这些区域之外，套利交易频繁发生，以至于两个市场的价格迅速收敛于均衡，这时两个市场价格是协整的。人们称之为非线性协整（门限协整，threshold integration） 。2 文献综述2.1 门限自回归模型（TAR）Balke,Fomby(1997)提出了门限协整的概念 1，并用一个门限自回归模型（TAR，threshold autoregression）来定义这种非线性协整行为。假设在一个二元系统里两种商品的价格 和 ，它们都是 I(1)过程，存在长期均衡（协整）关系tytxtttzxy残差项 用来度量价格偏离均衡的程度，它满足一个非线性的自回归方程：tzif （1）tttz1 tz
5、( ) if （2）ttt11t为门限值， 为白噪声过程。即当残差 在门限区间（ ）内部时，服从一个随机tz,游走过程；当 超过门限区间（ ） ，则倾向于回归到均衡值 0 附近。tz,这种 TAR 模型的另外一种等价表述形式是门限向量误差修正模型（T-VECM） 。（3） pi tttititi tttitit zifzrr1 112)2()1( 其中 为彼此独立的二元白噪声序列， ， 为误差修正项，等价于 TAR 模 ttxyt3型中的残差项。上述模型通过定义两个门限 ，把系统分成三个体制（regime） 。在中间体制,下，价格偏差服从一个随机游走过程，二者没有协整关系，这时不存在套利机会；
6、,在其他两个体制 下，价格偏差倾向于向均衡值 0 收敛，二者具有协整,关系，这时市场存在套利交易,。现在问题的重点是，如果在一个二元系统里真的存在上述模型所描述的非线性协整（门限协整）关系，如何来检验这种门限协整的存在，如何估计门限参数 ？显然传统的协整检验方法在这种非线性情况下并不适用。2.2 门限协整检验Balke,Fomby(1997)提出采用两步法来验证系统的门限协整行为 1。 （1）用传统的Engle-Grander 两步法（用 ADF 和 PP 检验法检验长期均衡回归方程的残差是否为单位根过程）和 Johansen 方法检验整个系统的协整行为（2）检验系统内部的门限协整行为，估计门
7、限参数 。将（1） （2）式的 TAR 模型写成如下形式：（4）tttttt zz11为了检验系统内部的门限协整，并估计门限参数 ， Petrucelli Davies(1986)提出了基于残差的递归安排自回归（recursive arranged autoregression）方法,并提出 CUSUM 检验方法 2。Tsay(1989)同样用残差递归安排自回归的方法，给出了另外一种检验非线性协整的方法 3。Balke,Fomby(1997)在 Tsay 的基础上提出了基于递归残差的 sup-Wald 检验方法，并对上述的检验方法的效果进行了比较,sup-Wald 检验的效果最好 1。递归安排
8、自回归的基本思想是把残差序列 ，t=0,1,2按照从小到大（或从大到小）tz的顺序重新排列形成一个新的样本（arranged sample） ，这个样本打乱了原有的时间顺序，这时在进行自回归时 的滞后变量 并不是时间意义上的滞后变量，而是新样本下的滞tzdtz后变量。在这个重新安排的样本下，首先选取一系列可能的门限值 ，对于每一对门限值，i通过 OLS 估计门限自回归方程（TAR） ，并计算样本的残差平方和 。为了检验门限2协整是否存在，零假设： ，即 越过门限值时系统没有发生结构突变（ structual 1tzchange） ，不存在门限协整。备择假设： ，即存在两个结构突变点，存在门限协
9、整。构造 Wald 统计量： )1()(20TW服从卡方分布。其中 T 为样本大小， 为线性模型（ ）下残差平方和)(T 2014的 OLS 估计值。由于 是关于 的减函数，因此定义 sup-Wald 统计量为所有)(TW2)(的最大值：)(T )(supTT其中 为门限 的值域。当门限越过某些点的时候，系统发生了结构性突变（structual change）,那么这些点很可能是所要估计的门限值。最终门限 的估计值是那些使残差平方和 最小以及 Wald 统计量最大的 值。在同方差假设下，残差平方和最2 小和 Wald 统计量最大这两者是一致的。2.3 渐进分布理论为了得知拒绝域的具体大小，需要
10、知道 Wald 统计量的分布。但是在这种情况下 Wald统计量的分布依赖于门限参数 的选择。在门限参数 事先给定的情况下，Wald 统计量在大样本下近似服从卡方分布，但是在零假设下门限参数 并不是事先给定的，而是估计出来的，选择不同的初始样本可能会得到不同的估计结果，这就使得检验变得更加复杂。因此传统的 Petrucelli Davies(1986)和 Tsay(1989)的检验方法是无效的。为了解决这一问题，人们提出了一系列渐进理论来模拟参数未知情况下检验统计量的分布。Davies(1977,1987)提出了似然比（LR ）检验（likelihood ratio） 4。Andrew Plob
11、erger(1994)分别构造了平均统计量以及对数统计量 5， Hassen（1996）提出了渐进分布理论（asymptotic distribution）来模拟检验统计量的渐进分布 6。Balke,Fomby(1997)提出用自助法（bootstrap）模拟 Wald 统计量的渐进分布 1：首先把零假设模型下的残差 随机取出，放入新的样本，并不断重复该过程次，产生一个tbootstrap 样本，在这个样本中，计算零假设模型下 sup-wald 统计量的分布；通过蒙特卡洛实验结果，Balke,Fomby(1997)指出 Hasen 的渐进分布理论和 bootstrap 数值检验方法比传统的 C
12、USUM 和 Tsay 检验方法更加有效。Forbes Kalb Kofman(1999) 7提出这种基于残差的递归安排自回归 (recursive arranged autoregression）的方法过于繁琐，对残差样本的顺序进行重排时选择升序和降序会影响可能的门限值的范围以及概率。由于套利交易的存在，任何超过门限值的价格都会在短时间内会到均衡价格，所以超过门限外体制的样本很小，这会妨碍门限的识别。2.4 贝叶斯方法因此人们转而使用贝叶斯方法(Bayasian approach)来估计门限套利模型。Geweke Terui（ 1993）建立了一个二体制自回归(two-regime auto
13、regression)模型，计算出门限变量的边缘后验分布的解析解 8。Koop （1996）研究了类似二体制自回归模型模型的脉冲响应函数 9。Chen Lee（1995） 在 Geweke Terui（1993）模型的基础上通过马尔可夫链 -蒙特卡洛（MCMC）方法计算出了边缘后验分布的数值解 10。Forbes Kalb Kofman(1999)提出了门限误差修正贝叶斯模型（T-ECM） ，把交易成本等先验信息加入分析中，利用贝叶斯后验分布函数同时估计出了门限参数，滞后参数以及 ECM 模型的回归方程各参数，并将该模型应用于标准普尔指数期货和标准普尔指数的实证分析中，得到了一个 1.03 指
14、数单位的无套利区间 7。2.5 极大似然估计与 LM 检验贝叶斯方法虽然能够估计出门限参数，但并没有给出检验门限协整的方法。Hasen 和Seo(2002) 延续了 Balke,Fomby(1997)的工作 11。他们提出， Balke,Fomby(1997)检验门限协5整的方法有一个重大的缺点，即只适用于协整向量已知的情况，而不适用于协整向量未知的情况。大部分情况下，协整向量是估计出来的而不是事先给定的。因此 Hasen Seo(2002)分析了协整向量未知的情况。他们在二元价格系统下建立了门限向量误差修正模型(T-VECM)，包含一个协整向量和一个门限效应。首先通过格点搜索法结合极大似然估
15、计（MLE）估计协整向量与门限参数，然后通过拉格朗日乘子（LM）检验门限协整。但是Hasen 和 Seo 只给出了单门限系统的检验方法和估计方法，并没有将这种方法拓展到多门限的情形。2.6 实证研究Martens,Kofman,Vorst(1998)用 Tsay（1989）的检验方法和门限自回归（TAR）模型分析了标准普尔指数期货和现货在 1993 年 5 月和 11 月的门限协整行为，发现套利交易的存在使得过大的价格偏差在短期内回调到无套利区间 12。Goodwin,Piggott(2001)用门限自回归（TAR）模型分析不同市场上的大豆期货以及玉米期货，发现在不同市场上的同质商品存在门限协整行为，并通过基于 Hasen（1996）方法修正的 Chow 检验以及 Tsay（1989）检验验证了门限协整并估计出门限参数 13。Lo,Zivot(2001) 14把 Balke-Fomby（1997）多门限自回归模型拓展到协整向量已知的情形，使用了 Tsay（1998） 15和 Hasen（1996） 6提出的检验方法。3 理论创新3.1 股指期货跨市场套利本文选取英国富时指数期货（uk100）和德国法兰克福指数期货（ger30）为研究对象，旨在分析全球股指期货市场之间的门限协整行为。目前有大量的实证研究分析股指期货市场和现货市场之间的套利，以及不同市
