《06长期班高等数学讲义(汪诚义)第六章97-113》由会员分享，可在线阅读，更多相关《06长期班高等数学讲义(汪诚义)第六章97-113（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、97第六章 多元函数微分学6.1 多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概念1二元函数的定义及其几何意义设 D 是平面上的一个点集，如果对每个点 P(x,y)D，按照某一对应规则 f，变量 z 都有一个值与之对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数，记以z=f（x，y） ，D 称为定义域。二元函数 z=f（ x，y）的图形为空间一块曲面，它在 xy 平面上的投影域就是定义域D。例如 二元函数的图形为以原点为球心，半1:,122yxDz径为 1 的上半球面，其定义域 D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为 1 的闭圆。2三元函数与 n 元函数空间一个点集，称为三元函数),
2、(),(zyxzyxfu。n元 函 数称 为21它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。二、二元函数的极限设 的邻域内有定义，如果对任意 只要),(),(0yxf在 点 ,0存 在。Ayxfx),(,220就 有则记以 Ayfyx lim),(lim)(),00或称当 的极限存在，极限值为 A。否则，称为极限不存,0yx。f时趋 于在。值得注意： 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋),(),(0yx趋 于这 里98于 ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概),(0yx念和简单的讨论极限存在性
3、和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三、二元函数的连续性1二元函数连续的概念若 处 连 续在 点则 称 ),(),(),(),(lim000 yxfyxffxy若 内每一点皆连续，则称 在 D 内连续。Df在 区 域, ,f2闭区域上连续函数的性质定理 1 （有界性定理）设 在闭区域 D 上连续，则 在 D 上一定有界),(yxf ),(yxf定理 2 （最大值最小值定理）设 在闭区域 D 上连续，则 在 D 上一定, ,有最大值和最小值 (,)(,)ma,)(min,)()xyxyDfMf最 大 值 最 小 值定理 3 （介值定理）设 在闭区域 D 上连续，M 为最大值，m
4、 为最小值，若,yx则存在,Mc使 得),(0yxCf),(0（乙）典型例题一、求二元函数的定义域例 1 求函数 的定义域xyz3arcsin解：要求 ;x即又要求 综合上0,0yxyy或即述要求得定义域或 3yx3y例 2 求函数 的 定 义 域)12ln(42xz解：要求 002yyx和即 2199函数定义域 D 在圆 的内部（包括边界）和抛物线 的左22yx xy21侧（不包括抛物线上的点）二、有关二元复合函数例 1 设 ),(,),(2yxfyxyxf 求解： 设 解出vu )(21vuv代入所给函数化简 224)(81),(uf 故 281),( yxyxf例 2 设 ),(,53f
5、求解： 2(532 xyxyx)y),(2xyf例 3 设 zfx。zyfz 和求 函 数时当 ,1),(解： 由条件可知221(),()(1)xfxufuu令 则12yz三、有关二元函数的极限例 1 讨论 )0()1(lim2常 数axyayx解：原式=)(2(liyxayx 而 etttxyayx )1(li1li令又 axyxx ayay )1(lim)(li21001ae原 式例 2 讨论 240limyxy解：沿 原式l02430ixlx沿 24220,li1xlyll原 式原 式 的 极 限 不 存 在例 3 讨论 2430limyxy解： )0(2yx21234320yx而 0l
6、im;21li00 xx yy用夹逼定理可知 原式=06.2 偏导数与全微分（甲）内容要点一、偏导数与全微分的概念1偏导数二元：设 ),(yxfzxyffxx ),(),(lim0fyfyfz ,li),(0三元：设 ,xfu101),();,();,( zyxfzuyxfuzyxfu 2二元函数的二阶偏导数设 ),(fz， )(,2xzyxf )(),(2xzyxfy， )(),(fzyx )(),(2fy3全微分设 增量),(fz ),(),(xfxfz若 )22yoyBxA当 时0则称 可微，而全微分),(yxfzyBxAdz定义： yd定理：可微情况下， ),(),(yxfxfAdyy
7、fzx),(三元函数 ,zu全微分 dzyxfzyxfyxfdz),(),()( 4相互关系连续 存在 (,)xyf (,)f(,)(,)xyff存 在连 续5方向导数与梯度（数学一）二、复合函数微分法锁链公式模型 I. 设 (,)(,)(,)zfuvxyv则 ； xzuzvy模型 II. 设 (,)(,)fy uvyxz102则 ， xzufyzuf模型 III. 设 (,)(),ufxyzxz则 xyzddff思考题：设 (,)(,)(,),(,)fuvwuvtvtxy求 的锁链公式，并画出变量之间关系图.zx三、隐函数微分法设 ),(0),(yxzzyF确 定则 )0; zzzx FF要
8、 求 偏 导 数 连 续 且四、几何应用（数学一）1空间曲面上一点处的切平面和法线曲面 F（x, y, z）=0 在点 处的切平面为0(,)xyz000, 00(,) ,x y zyzxFxzyFxy法线为 000,xyz2空间曲线上一点处的切线和法平面曲线 在点 处,xtytzt000,xtytzt切线为 000ttt法平面为 000000 xyztz（乙）典型例题uyxzxyuxyzx103例 1 求 的偏导数zyxu)(解 ， 1)(zx121()zzuxxyy()lnzuy例 2 设 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ， 又 函 数 分 别 由 下 列 两 式 确 定,xf )()(
9、xzy及dxuteyezx求和 0sin2解 dxffdxuzy由 0)(,2 dxyxyeexyy 得求 导两 边 对解出 1( yx分 子 和 分 母 消 除 公 因 子由 )()(sin,sin0 dxzzxexdtezx 得求 导两 边 对解出 )sin(1zxzx所以 zfxeyfdu)si(例 3 设 所确定的函数，其中 f 具有0),()(, yFfzxzy和是 由一阶连续导数，F 具有一阶连续偏导数 求 dxz解 分别在两方程两边对 x 求导得10xyz yzxdzdffffdFFFxx 化 简解出 ()yxzffdzF例 4 设 由 方 程有 连 续 偏 导 数 ),(),(
10、 yz。xfu104duzeyxe求所 确 定解一：令 ,yyxxzyx eFeeF )1(,)1(),( 得则 用 隐 函 数 求 导 公 式 得zze1zyzxzx eyF1;zxzxzxffu1yzyzyzffedyezfdxzfduxdu zyzx )1()( 解二： 在 得两 边 求 微 分zyxeedzeyd)1()1()( 解出 zyxez)(代入 dfydfuzx zyxzyx edff )1(合并化简也得 yeffdu zzyzxzx )1( 例 5 设 具有二阶连续偏导数，且满足),(vuf ,22vuf22,)(1,),( ygxyxfyxg求解： ,2vuvfyuxgf
11、xyg,2ffxuvx u x f v y()fuv105而 ； 代入上式22ffufvxx 22ffufvxvx故： ,2222 fvufyfygffxf 2222所以： 22222 )()( yxvfyxufygx 例 6 已知 ),(,),(0),( yxzvuFyxzzyF其 中确 定 均有连续编导数，求证 证： 0),(),(),( zyxGzvu )()(11 22zyFzxFFGvuzvyx 根据隐函数求导公式vuzxy vuzyxG则得 zx例 7 设 zuxvvzuy,2求解：对 得的 两 边 求 全 微 分 。x,2vdzudyvdzyzux2,12)(,uzzvxydv1
12、061,2221uzvuzvxxz例 8 设函数 u=f(x, y)具有二阶连续导数，且满足等式 ，确定222450uxy的值，使等式在变换 下化简为,ab,xayb0解：由多元复合函数的锁链公式 uuuxuuabyy2222222uuuxxx 2 2222222uu uabayyy 2 2222222()()uuuababay于是 22 22 22415(14)5141080uubabxy 则 2250;0;80aba这样得到两组解和 2b5a1076.3 多元函数的极值和最值（甲）内容要点一、求 的 极 值),(yxfz第一步 ),21(),(0),( lkyxf ky 求 出 驻 点第二
13、步 ,), kxykykxk fff 令 (0,)kkfxy若 则 不 是 极 值若 则 不 能 确 定 （ 有 时 需 从 极 值 定 义 出 发 讨 论 ）若 则 是 极 值进一步 为 极 大 值则若 为 极 小 值则若 ),(0),(kkxfyf二、求多元（ ）函数条件极值的拉格朗日乘子法2n求 的 极 值),(1nxfu约束条件 )(0),(1mnmxn 0),(,0 ),(),(,1 1111nmxx niminmxFF xxfn 令求出 是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义,2),(1lkxnk确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。三、多元函数的最值问题（略）108（乙）典型例题一、普通极值例 1 求函数 的极值224yxyxz解 yxz4,33要求 32,0yzxyx得故知 由此解得三个驻点,1,0yy又 2,2,2122 yzxzxz在点（1，1）处 是 极 小 值 点又 )1,(,0196 10,2 ),(2)1,(2)1,( ABCyzCyxzxz极小值 在点（-1，-1 ）处),(Z也 是 极 小 值 点)1,(,0196 10,2,2 ),(2)1,(
