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1、科 技信息 2008 年 第 30 期SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION0.引言众所周知 ，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性可简化定积分 、重积分以及第一类曲线积分和第一类曲面积分的计算 ，但几乎是所有的高等数学教材中都没有提及第二类曲线积分和第二类曲面积分的对称性 ，第二类曲线积分和第二类曲面积分究竟有没有对称性呢 ？ 若有 ，是不是与第一类曲线积分和第一类曲面积分一样呢 ？ 回答是 ：第二类曲线积分和第二类曲面积分也有对称性 ，但与第一类曲线积分和第一类曲面积分的有关对称性的结论恰好相反 。 使用时应特别注意 ! 使用时一般分两方面来讨论 ：(1)利用积
2、分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算 ;(2)利用积分区域和函数关于变量的轮换对称性简化计算 。 有时候两种对称性可结合起来 ，使积分计算更加简便 。1.计算第二类曲线积分的对称性方法大家知道 ，对于第一类曲线积分有这样的结论 ：如果分段光滑的平面曲线 L 关于 X(或 Y)轴对称 ,那么 (1)若 P(x,y)是 y(或 x)的奇函数 ,则LP（x，y）ds0;(2)若 P(x,y)是 y(或 x)的偶函数 ,则 LP（x，y）ds2L1P（x，y）ds,其中 L1为 L 在上 (或右 )半平面的部分 。但第二类曲线积分有关对称性的结论与之恰好相反 ：结论 1：设积分曲线 L 是平面分段
3、光滑曲线 ，若曲线 L 关于 x 轴对称 ，且 L 在 x 轴上半部分与下半部分走向相反 ，曲线 L1、L2分别是 L位于 x 轴上 、下方的部分 ，则LP（x，y）ds0， P（x，y）P（x，y）2L1P（x，y）ds， P（x，y）P（x，y）其中 ，P（x，y）P（x，y）表示 P（x，y）是 y 的偶函数 ，P（x，y）-P（x，y）表示 P（x，y）是 y 的奇函数 。结论 2：设积分曲线 L 是平面分段光滑曲线 ，若曲线 L 关于 y 轴对称 ，且 L 在 y 轴左半部分与右半部分走向相反 ，曲线 L1、L2分别是 L位于 y 轴左 、右的部分 ，则LQ（x，y）ds0， Q（-
4、x，y）Q（x，y）2L1Q（x，y）ds， Q（-x，y）Q（x，y）其中 ，Q（-x，y）=Q（x，y）表示 Q（x，y）是 x 的偶函数 ，Q（-x，y）Q（x，y）表示 Q（x，y）是 x 的奇函数 。证明 ：仅证明结论 1，结论 2 的证明与之类似 。设 L=L1+L2,L=L1+L2，L1:y=f(x);L2:y=-f(x),xx1,x2，则LP(x,y)dx=L1P(x,y)dx+L2P(x,y)dx=x1x2Px,f(x)dx+x1x2Px,-f(x)dx=x1x2P(x,f(x)-P(x,-f(x)dx=0， P（x，y）P（x，y）2x1x2Px,f(x)dx=2L1P(x
5、,y)dx P（x，y）P（x，y）结论 3:若积分区域 L 和函数 P(x,y)关于变量 x、y 具有轮换对称性 ，则LP（x，y）dxLP（x，y）dx例 1 计算 Ldxdyx2y21，其中 L： x +y 1，取逆时针方向 。解 ：将 Ldxdyx2y21写成两部分 ，即Ldxdyx2y21Ldxx2y21Ldyx2y21.第一个积分 ， 曲线 L 关于 x 轴对称 ，且走向相反 ，被积函数是 y 的偶函数 ,由结论 1，得 Ldxx2y210；第二个积分 , 曲线 L 关于 y 轴对称 ， 且走向相反 ，被积函数是 x 的偶函数 ,由结论 2，得Ldyx2y210，所以 Ldxdyx
6、2y210.另外 ，本题中的积分区域 L 和被积函数关于变量 x、y 都具有轮换对称性 ，由结论 3，Ldxx2y21Ldyx2y210，故 Ldxdyx2y2102.计算第二类曲面积分的对称性方法第二类曲面积分与第一类曲面积分有关对称性的结论也恰好相反 ，对于第二类曲面积分有下面的结论 ：结论 4:设积分曲面 光滑或分段光滑 ，且 12，曲面 1和2的法线方向相反 ，若曲面 1和 2关于 xoy 面对称 ，则蓦R(x,y,z)dxdy=0， R（x，y，z）R（x，y，z）2蓦R(x,y,z)dxdy， R（x，y，z）-R（x，y，z蓦）其中 ，曲面 1为 的 z0 的部分 。证明 ：不妨
7、设 1的法线方向为正 ，1：zf（x，y）；2：zf（x，y），1和 2在 xoy 面上的投影区域 D1和 D2相同 ，则蓦R(x,y,z)dxdy=蓦1R(x,y,z)dxdy+蓦2R(x,y,z)dxdy=蓦D1R(x,y,f(x,y)dxdy-蓦D2R(x,y,-f(x,y)dxdy=蓦D1R(x,y,f(x,y)-R(x,y,-f(x,y)dxdy=0, R(x,y,z)R(x,y,z)2蓦D1R(x,y,z)dxdy2蓦1R(x,y,z)dxdydz， R(x,y,z)R(x,y,z蓦)同理可得 ：结论 5:若曲面 1和 2关于 yoz 面对称 ，则蓦P(x,y,z)dydz0， P
8、（x，y，z）P（x，y，z）2蓦1P(x,y,z)dydz， P（x，y，z）-P（x，y，z蓦）其中 ，曲面 1为 的 x0 的部分 。结论 6:若曲面 1和 2关于 zox 面对称 ，则蓦Q(x,y,z)dzdx0， Q（x，-y，z）Q（x，y，z）2蓦1Q(x,y,z)dzdx， Q（x，-y，z）-Q（x，y，z蓦）其中 ，曲面 1为 2的 y0 的部分 。结论 7:若积分曲面 和被积函数 P（x，y，z）关于变量 x、y、z 都具有轮换对称性 ，则蓦P(x,y,z)dxdy蓦P(x,y,z)dxdz蓦P(x,y,z)dydz （下转第 8 页 ）巧用对称性解第二类曲线积分和第二类
9、曲面积分殷月竹 杨忠连(安徽理工大学 安徽 淮南 232001)【摘 要 】本文探讨了对称性在第二类曲线积分和第二类曲面积分中的应用 ，给出了一些有用的结论 ，并举例说明 。 利用对称性 ，使许多用“正规 ”的方法处理十分麻烦的第二类曲线积分和第二类曲面积分都能简单解决 ，事半功倍 。【关键词 】第二类曲线积分 ；第二类曲面积分 ；对称性Calculating Skillfully the Curve Integral and Surface Integral Type 2 by SymmetryYin Yuezhu Yang Zhonglian(Anhui University of Sci
10、ence and Technology, Anhui Huainan 232001, China)【Abstract】In this paper, the application of symmetry method is discussed in calculating curve integral and surface integral type 2, and someuseful conclusions and examples are given. By symmetry, some troublesome problems to calculate by normal method
11、s can be easily solved.【Key words】curve integral type 2;surface integral type 2;symmetry本刊重稿 12科 技信息 2008 年 第 30 期SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION（上接第 17 页 ）是色盲患者 ,问他是男人的概率是多大 ？分析 :本题本质上是要求解色盲患者中男性患者的比例 ，即 AB（图 4 阴影部分 ）在B 所占有的比例 。 这就是所谓的条件概率 P(A|B)，所以有P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A）+P(A軍)P(B|A
12、軍)而由题意知 ,其中的 P(A)，P(B|A),P(A軍)，P(B|A軍),都是已知量 ,带入公式有 P(A|B)=0.983.结束语笔者的在教学实践大量运用到了图表法 ,结果表明该方法确实能非常有效地帮助学生理解 中的疑难知识点 .当然图表法在本课程中的应用并不囿于本文中所提到的几个知识点 .因为篇幅的关系 ,图表法在其它知识点中的应用这里就不再赘述 .笔者衷心希望本文可以为同行在教学过程提供一定的参考【参考文献 】1曹阳等 .概率论与数理统计 M.华中理工大学出版社 .湖北武昌 .1999.2孙洪祥等 .概率论与数理统计 (二 )M.辽宁大学出版社 .辽宁沈阳 .2008.基金项目 ：本
13、文系江西省高等学校教学研究课题 自学考试 教学改革 阶段成果 。 项目编号 ：JXJG-O7-19-17。责任编辑 ：田瑞鑫 图 4科（上接第 12 页 ）例 2 计算 I蓦dydzy2dzdxex2+y2姨dxdy，其中：z= x2+y2姨 ,1z2的下侧 。解 ： 分别关于 yoz、zox 面对称 ，P=1 是关于 x 的偶函数 ，Q=y2是关于 y 的偶函数 ,分别由结论 5 和结论 6，得 蓦dydz蓦y2dzdx=0,从而I=蓦e2x2+y2姨dxdy=-蓦Dxyex2+y2姨x2+y2姨dxdy=-20乙d20乙rerrdr=2e(1-e)例 3 计算 I=蒽xr5dydz+yr5
14、dzdx+zr5dxdy，其中 r= x2+y2+z2姨 ，为球面 x2+y2+z2=R2的外侧 。解 ： 积分曲面 和被积函数关于变量 x、y、z 都具有轮换对称性 ，由结论 7，得 蒽xr5dydz=蓦yr5dzdx=蒽zr5dxdy，从而 I=3蒽zr5dxdy；又 关于 xoy 面对称 ，zr5是关于 z 的奇函数 ，由结论 4，得 I=3蒽zr5dxdy=6蓦1yr5dxdy，其中 ，曲面 1为 的 z0 的部分 。 所以I=6蒽1zr5dxdy=6Dxy蓦R2-x2-y2姨R5=6R520乙dR0乙R2-r2姨 rdr=4R2本例是将两类对称性结合起来应用 ，使得第二类曲面积分的计
15、算大为简化 。3.结束语从以上讨论可知 ，若能掌握第二类曲线积分和第二类曲面积分的有关对称性的结论 ，并能灵活巧妙地运用 ，可使计算大大简化 ，收到事半功倍的效果 。【参考文献 】1同济大学数学教研室 .高等数学 (五版 )M，北京 :高等教育出版杜 ,2002.2宋建儒 .高等数学解题方法与技巧 M,陕西 :陕西教育出版社 ,2003.3华东师范大学数学系 .数学分析 （下册三版 ）M.北京 :高等教育出版社 ,2001.4陈文灯 ,袁一圃 ,俞元洪 .高等数学复习指导 Ml.北京 :北京理工大学出版社 ,1992.5陈定元 ,王业庆 .一种有效计算第二型曲面积分的方法 .安庆师范学院学报 (自然科学版 ).2008,14(1):83-85.作者简介 ：殷月竹 (1980)，女 ，汉族 ，硕士 ，讲师 。2000 年毕业于山东师范大学数学与应用数学专业 ， 获理学学士学位 ；2006 年于哈尔滨工业大学基础数学专业获理学硕士学位 。 现在安徽理工大学理学院从事数学教学和最优化方面的科研工作 。杨忠连 (1981)，男 ，硕士 ,现在安徽理工大学化工学院从事化学教学和化工原理方面的科研工作 。基金项目名称 ： 安徽理工大学青年科研基金资助项目 ， 编号 ：QN200620。责任编辑 ：
