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1、第 49 讲 空间向量的运算(B)（第课时）空间向量及运算 空 间 向 量 的 夹 角 公 式共 面 的 充 要 条 件共 线 与 垂 直 的 充 要 条 件基 本 定 理空 间 向 量 的 性 质 数 乘 和 数 量 积加 法 和 减 法空 间 向 量 的 运 算空 间 向 量 的 概 念 及 表 示重点：1空间向量的概念和表示；2空间向量的运算；3空间向量的性质。难点：空间向量性质的灵活运用。1理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；2了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的数量积的定义和性质；3掌握空间向量的坐标运算。应用向量求线段长、异面直线夹角和证明
2、异面直线垂直。1空间向量的概念及其表示定义：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，零向量是方向任意、大小为零的向量。两个向量相等的充要条件是它们的方向相同且大小相等。表示：可以用有向线段或是坐标来表示，前者使向量与几何图形发生联系，后者使向量与实数发生联系。用向量知识解立体几何题，大多数情形下，比用几何法简便。这是因为几何问题代数化后，解题思路方向明确，不必为寻找解题途径而煞费苦心。特别是对求空间角、空间距离以及线线垂直方面的问题尤其简单。2空间向量的运算空间向量可以进行加法、减法和数乘和数量积等运算，其运算性质与平面向量基本相同，只是在数量积运算中不满足结合律的下述形式( )。ba神经网络 准
3、确记忆！重点难点 好好把握！考纲要求 注意紧扣！命题预测 仅供参考！考点热点 一定掌握！空间向量可以进行代数运算、几何运算和坐标运算，代数运算与实数运算基本相同，几何运算赋予向量运算各自的几何意义和物理意义，坐标运算使向量运算转化为数量运算。向量加法满足交换率、结合律和数乘的分配率。向量减法可以转换成向量加法进行，即 a - b = a +(-b) 。例 ， 化 简 下 列 向 量 表 达 式已 知 平 行 六 面 体 DCBA：并 标 出 化 简 结 果 的 向 量； BCA； D；21。)(3A解： ；CB； ACD 设 M 是线段 CC的中点，则 ；AMDB21 设 G 是线段 AC靠近
4、点 A 的三等分点，则 。GCB31)(33共线向量定理及其用共线向量定理：对于空间任意两个向量 a、b(b0),ab 的充要条件是存在实数 ，使 a=b 。由该定理易知，当 b0 时，若 ab ，bc ,则必有 ac 。该定理可用来证明三点共线或线线平行。例若空间三点 A（1， 2） 、B（2，4，1） 、C（p，3，q2）共线，则 p ，q 。分析： A、B、C 三点共线，则 ，A即（1，1，3）（p1，2，q4） ， ，)4(321q把 代入得 ， 。3p2q4空间向量基本定理及其应用空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有BAD CD CBAA
5、 BCDA BCDBAD CD CBAA BCDA BCDBAD CD CBAA BCDA BCDMBAD CD CBAA BCDA BCDGBAD CD CBA BCDA BCD序实数组 、 、 ，使 a+ b+ c 。xyzpxyz由上述定理可知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是p|p=xaybz c，x，y，z R这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我们把a， b， c叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。推论： 、 、 、 是空间不共面的四点，则对空间任一点 ，都存在惟一的有序实O
6、ABCP数组 、 、 ，使 = + + ，特别地，若 + + =1 ，则必有 、xyzPxyOBzCxyzP、 、 四点共面。故 可以看成是平面 的一个向量参数方程，其中 、 、1zyz Axy为参数。z例. 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC 、CD、DA 的 中点，用向量法证明 E、F、G、H 四点共面。证明：连结 BG，则 EHFBEDBCEGB )(21由空间向量基本定理的推论知：E、F 、 G、H 四点共面， (其中 = ） 。215空间向量的夹角及其数量积 空间两向量的夹角定义：已知两个非零向量a、b ，在空间任取一点 ，作 =a ， = b ，则
7、叫OABAOB做向量a和b的夹角，记作 ，且规定 。0说明：零向量与其它向量之间不定义夹角，当两个非零向量同向共线时夹角为0，反向共线时夹角为 。 空间两向量的数量积定义：已知空间两个向量a、b ，则|a|b|cos叫做向量a、b 的数量积，记作ab ，即 ab=|a|b|cos 。说明：两向量的数量积是一个实数，它等于两向量的模与其夹角余弦之积，此定义对于a、b是零向量以及共线向量的情况仍然成立。由此可知，零向量与任何向量的数量积均为零。由上述定义不难得出如下结论，对于两个非零向量a、b ，有： cos= ； ； ab ab=0 。ba22a向量的数量积适用如下运算律：交换律：ab = ba
8、 ；结合律：（ a）b = （ab）；分配律：a（b+ c）= ab+ ac 。例已知空间三点 A（1，1， 1） 、B（1，0 ，4） 、C（2，2，3） ，则 与 的夹角ABC 的大小是 。分析： =（2，1，3） ， =（1，3，2） ，BCcos ，C21474)()()( =120。A例如图，在棱长为 的正四面体 中，取 中点 ，aBDAAM中点 ，连接 ，求证： 为 、 的公垂线。DNMN证明：设 p ， q ， r ，且 p、 q、 r 三向量两两夹角均为 ，ABCAD60|p|=|q|=|r|= ，a （ p + q - r） ，21)(21BMN （ p + q - r） p
9、 （ qp + rp p2）0)6cos0cs(2122aa ，同理可证 ，ABNCD 为 、 的公垂线。NC6向量的直角坐标运算 设 a =（ ） ，b =（ ） ， ， ，321,a321,bA)(11zyx， B)(22zyx，则 a+b =（ ） ，,a-b =（ ） ，,ab = 321 若a、b为两非零向量 ，则 ab ab = 0 ，0321baa若 b0 ，则 ab a= b （b i0 ， ） 。321 ,1i , ,2321 2321cos= ,ab 2321321 ba,),(2zyxOAB（两点距离公式） 。212112()(x例在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，
10、z） ，关于下列叙述点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x，y，z） ；点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2（x，y，z ） ；点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x，y，z） ；点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4（x，y，z） 其中正确的个数是 （）A3 ； B2 ； C1 ； D0 。分析：P 关于 x 轴对称点 P1（x，y，z） ，P 关于 yOz 平面对称点 P2（x，y，z） ，关于 y 轴对称点 P3（x，y，z） ，所以错误，故应选 。能力测试 认真完成！LJ0301-05空间向量的运算 1 2 3 4 5 6 7 8加法减法数乘空间向量的运算 数量积
11、证明三点共线共线向量定理及其用 证明线线平行 基本定理 空间向量基本定理及其应用 应用：证明四点共面 空间向量的夹角 ),(1212zyxABa+b a-b ab ab ab = 0ab a= b向量的直角坐标运算1已知 p=(x,y,z),q=(a,b,c),(xyz0,abc0)，若有等式( x2+y2+z2)(a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2 成立，则 p、q 之间的关系是 （ ）A平行 B垂直 C相交 D以上都可能答案： 。2在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设 ，则 x+y+z 等于1132CzByAx（ ）A1 ； B ； C ； D 。32656解：如图， +
12、 = ， + = ，1代入得 = + + ，1C1又已知 ，2zyx但有序实数组 、2 、3 唯一， ， + + ，故应选 。13zy631D3 、 、 、 为空间四点，又 、 、 为空间的一个基底，则 （ OABCOABC）. 、 、 、 四点不共线； . 、 、 、 四点共面，但不共线； . 、 、 、 四点中任三点不共线； . 、 、 、 四点不共面。AB解：由基底意义可知， 、 、 不共面，但供选答案中的前三种都有可能使 、OA、 共面，故应选 。BD4 已知 a=(cos,1,sin ) ，b=(sin,1,cos )，且 sincos，则向量 a+b 与 a-b 的夹角参考答案 仔
13、细核对！B1C1DD1A1CBA是 （ ）A0 B30 C60 D90解：a+b =（cos +sin ,2, cos +sin ） ，a- b =（cos -sin ,0, sin - cos ） ， cos 2222 )cos(in)sin(co)sin(co)sin(co0 2222 2iiii i0 = ，故应选 。90D5已知 a（1t，1t，t） ，b（2，t ，t） ，则ba的最小值是 （）. ； . ； . ； . 。AB5C53D51解：ba（2，t ，t）（1 t，1t ，t）（1t ，2t1，0） ，ba ，故应选 。2)2()(2C6已知向量 a（1，1，0） ，b（1，0 ，2） ，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 值是（）. 1； . ； . ； . 。AB5C53D57解：ka+bk（1，1，0）（1，0 ，2）（k1，k，2） ，2ab2（1，1，0）（1，0 ，2）（3，2，2） ， 两向量垂直， 3（k1）2k220 ， ，故应选 。7如果三个向量 a=（a 1，a 2，a 3） ，b =（b 1，b 2，b 3） ，c=（c 1，c 2，c 3）共面且两两不共线，求证向量 u=（a 1，b 1，c 1）
