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1、点到平面的距离的几种求法马志良求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合立体几何(必修本)中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法例已知是边长为 4 的正方形，、分别是、的中点，垂直于所在平面，且，求点 B 到平面的距离一、直接通过该点求点到平面的距离直接作出所求之距离，求其长解法 1如图 1，为了作出点 B 到平面 EFG 的距离，延长 FE 交的延长线于， 连 结，作，交于，则有，平面作，交于，易证平面平面作，垂足为，则平面于是是点到平面的距离易知/， ， ，由，得 图 1图 2不直接作出所求之距
2、离，间接求之（）利用二面角的平面角课本第 4 题，第 2 题、第 4 题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”如图 2，二面角-的大小为，点到平面的距离，则有 中的 也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过的二面角的平面角解法 2如图 3，过作，交的延长线于，易知 ，这就是点到二面角-的棱的距离连结交于，连结，易证就是二面角-的平面角 ，求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合立体几何(必修本)中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法例已知是边
3、长为 4 的正方形，、分别是、的中点，垂直于所在平面，且，求点 B 到平面的距离一、直接通过该点求点到平面的距离直接作出所求之距离，求其长解法 1如图 1，为了作出点 B 到平面 EFG 的距离，延长 FE 交的延长线于， 连 结，作，交于，则有，平面作，交于，易证平面平面作，垂足为，则平面于是是点到平面的距离易知/， ， ，由，得 图 1图 2不直接作出所求之距离，间接求之（）利用二面角的平面角课本第 4 题，第 2 题、第 4 题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”如图 2，二面角-的大小为，点到平面的距离， 则有 中的 也就是二面
4、角的大小，而并不强求要作出经过的二面角的平面角解法 2如图 3，过作，交的延长线于，易知 ，这就是点到二面角-的棱的距离连结交于，连结，易证就是二面角-的平面角 ， ， ， ， ，/，于是由得所求之距离 解略（）利用斜线和平面所成的角如图 4，为平面 的一条斜线，与 所成的角为 ，到平面 的距离为，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有经过与 垂直的平面与 相交，交线与所成的锐角就是中的 ，这里并不强求要作出点在 上的射影，连结得 解法 3如图 5，设为与的延长线的交点，作，为垂足又，易得平面平面，为它们的交线，所以就是与平面所成的角 由，可得 ，在中， ，所以/ ，于是由得所求之距离 图 5图
5、 6（）利用三棱锥的体积公式解法 4如图 6，设点到平面的距离为，则三棱锥-的体积(/) 另一方面又可得这个三棱锥的体积(/) ，可求得 (/) ， ，所以有/ /，得 二、不经过该点间接确定点到平面的距离利用直线到平面的距离确定解法 5如图 7，易证平面，所以上任意一点到平面的距离就是点到平面的距离由对称思想可知，取中点，求点到平面的距离较简单交于，交于易证平面平面，作，为垂足， 为所求之距离图 7图 8利用平行平面间的距离确定如图 8，把平面补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗面是正四棱柱- 经过、的截面所在的平面交 于，交 于，作，交于，连结，则有平面平面它们之间的距离就是所求之距离于是可以把点平移到平面上任何一个位置，哪里方便就在哪里求这两个平行平面的距离又同三棱柱-的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离据此可得解法解法 6三棱柱-的体积 ，另一方面又有 ，可求得/，/， ， ， ， ，所以 ，得 为所求之距离
