5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析,目前，只介绍了离散系统的自由振动，并在第5.4节中讨论了如何用振型分析方法来确定一个n自由度无阻尼系统对初始条件的响应,振型分析能够用来导出无阻尼系统对任意激励的响应，在某些情况下，也可以导出有阻尼系统的响应,不计阻尼时，n自由度系统的强迫振动微分方程为,5.6-1,式中M和K为nn阶的质量矩阵和刚度矩阵，n维向量q(t)和F(t) 分别表示广义坐标和广义力,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,方程(5.6-1)构成了n个联立的常系数的常微分方程组虽然这些方程是线性的，但求解也并非是件容易的事,用振型分析来求解就要方便得多，振型分析的基本思想就是将联立的方程组变换成为互不相关的方程组，其变换矩阵就是振型矩阵,为了用振型分析去求解方程(5.6-1)，首先必须求解特征值问题，即,5.6-2,式中u为振型矩阵，2是固有频率平方的对角矩阵振型矩阵可以正则化，使其满足,5.6-3,多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,引入正则坐标，作如下的线性变换,式中(t)为系统的正则坐标,因为u是一个常数矩阵,所以 和 之间存在着同样的变换。
把式(5.6-4)代入方程(5.6-1)，得,5.6-4,5.6-5,方程(5.6-5)左乘以uT，有,5.6-6,考虑到方程(5.6-3)，得到,5.6-7,式中N(t)=uTF(t)是与广义坐标向量(t)相应的n维广义力向量，即正则激励,多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,因为2是对角矩阵，故方程(5.6-7)表示一组互不相关的方程，即,5.6-8,方程(5.6-8)具有与单自由度系统的运动微分方程相同的结构，可作为n个独立的单自由度系统来处理,设广义坐标q(t)的初始条件为,5.6-9,由式(5.6-4)的变换(t)=u-1q(t)，有,5.6-10,多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,也可以在坐标变换式(5.6-4)两边同时左乘uTM，得,5.6-11,由初始条件引起方程(5.6-8)的齐次解为,5.6-12,式中 和 为第r阶模态在正则坐标中的初始条件,任意激励Nr(t)的特解可以由卷积积分给出，即,5.6-13,多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,自由振动初始条件的响应,所以第r阶模态的全解是由激励Nr(t)引起的响应和初始条件引起的响应之和,广义坐标q(t)的响应是广义坐标(t)的响应的叠加，则有,因此，将正则坐标的全解(5.6-14)代入方程(5.6-15)就可以得到无阻尼n自由度系统的全部响应,5.6-15,5.6-14,多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1,例5.6-1 考虑图5.6-1所示系统，在系统上作用有激励向量F(t)=0 F0u(t)T，u(t)为单位阶跃函数。
求在零初始条件下系统的响应,解：系统的运动微分方程,为了用振型分析方法求解，首先要解特征值问题，得,图 5.9-1,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,对振型向量进行正则化，而后把振型向量排列成振型矩阵,利用振型矩阵作线性变换,例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,将上式代入方程(5.6-14)，得,例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,那么广义坐标q(t)的响应为,例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,例5.6-2 若图5.6-1所示系统的作用力向量为F(t)=0 F0sintT，求系统的响应,解：根据前题，利用振型矩阵u进行变换的正则激励向量为,将上式代入(5.6-14)，得,例题：受简谐激励系统的响应（例5.6-2,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,最后，得,例题：受简谐激励系统的响应（例5.6-2,5.6 无阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法,可见，由方程(5.6-14)得到的解，包含由外加激励作用于系统引起的稳态响应和瞬态响应。
当存在阻尼时，瞬态响应将很快衰减若只考虑强迫振动的稳态响应，则只取sint项,例题：受简谐激励系统的响应（例5.6-2,5.7 多自由度系统的阻尼,阻尼概述,在工程实际中，阻尼总是存在的(如摩擦、速度平方阻尼、材料阻尼、结构阻尼、粘性阻尼等)，并对系统的振动产生影响,由于各种阻尼的机理比较复杂，性系统振动分析计算中，需将各种阻尼简化为粘性阻尼，其阻尼力的大小与速度的一次方成正比,阻尼系数须由工程上各种理论与经验公式给出，或直接根据实验数据确定,5.7 多自由度系统的阻尼,阻尼矩阵的特点及几种常用的阻尼,对于一般粘性阻尼的多自由度系统，在外激励的作用下，系统的运动微分方程为,5.7-1,式中质量矩阵M、刚度矩阵K和外激励向量F(t)的意义与前面相同，而阻尼矩阵C的形式为,5.7-2,阻尼矩阵C一般为正定或半正定的对称矩阵,1.比例阻尼：若阻尼矩阵C恰好与质量矩阵M或刚度矩阵K成正比，或者C是M与K的某种线性组合，即,5.7-3,式中a和b为正的常数，称这种阻尼为比例阻尼,5.7 多自由度系统的阻尼,对这种比例阻尼来说，当广义坐标转换成正则坐标时，在正则坐标中的阻尼矩阵将是一个对角矩阵，即使用无阻尼系统的正则振型矩阵u可以使C对角化，即有,5.7-4,几种常用的阻尼1 比例阻尼,5.7 多自由度系统的阻尼,称r为振型比例阻尼。
可以看出，令a=0，而b0有,这意味着在各个振型振动中，阻尼正比于该振型所对应的固有频率,令,5.7-5,或写成,5.7-6,5.7-7,几种常用的阻尼2 振型比例阻尼,5.7 多自由度系统的阻尼,适当地选取a和b的值，就有可近似地反映实际振动中出现的倾向性,几种常用的阻尼2振型比例阻尼,5.7-8,这意味着在各个振型振动中，阻尼反比于该振型所对应的固有频率,若b=0，而a0，有,5.7 多自由度系统的阻尼,再讨论方程（5.7-1）的解耦问题可以看到，是否能利用正则坐标变换进行解耦，关键在于阻尼矩阵是否能对角化,有阻尼振动系统解耦问题,uTCu一般不是对角阵在工程实际的振动系统中，经常遇到的是阻尼比较小的情况，这时，由uTCu的非对角项引起的耦合很少出现大于或者远大于对角项的情况因此，略去uTCu非对角线元素组成的各阻尼项，即令uTCu的所有非对角线元素的值为零，不会引起很大的误差,5.7 多自由度系统的阻尼,对应正则坐标的阻尼矩阵就可以表为对角矩阵，即,5.7-9,因此，就可以把振型叠加法有效地推广到有阻尼的多自由度系统的振动问题的分析求解,有阻尼的多自由度系统的正则坐标的运动微分方程为,5.7-10,有阻尼振动系统解耦问题,5.7 多自由度系统的阻尼,实践经验表明，它一般适用于振型阻尼比r不大于0.2的弱阻尼系统,或展开为,5.7-11,若系统的阻尼较大，不能用无阻尼系统的振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵C不能对角化，也有一般的理论适用于这种情况，它将包含复特征值和复特征向量，这个问题已超出了本书的范围,有阻尼振动系统解耦问题,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,对于有阻尼的多自由度系统，在外激励的作用下，系统的运动微分方程为,假设有粘性阻尼系统的运动微分方程中的阻尼矩阵C可以实现对角化，利用正则坐标变换解耦后，得到有阻尼系统的运动微分方程为,根据式(5.7-9)得振型阻尼比r为,5.8-1,多自由度有阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,对应第r阶正则坐标r(t)模态力向量为,5.8-2,激励类型,简谐激励,周期激励,任意激励,多自由度有阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,1简谐激励,假定一个具有粘性阻尼的多自由度系统，它的各广义坐标上有同频率、同相位的简谐激励作用。
令,将方程(5.7-11)写程复数形式,5.8-3,5.8-4,式中,5.8-5,多自由度有阻尼系统对简谐激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,式中,这里Hr()，r和r分别为相应于正则坐标的放大因子，相位角和频率比,则正则坐标的稳态响应为,5.8-6,5.8-7,5.8-8,5.8-9,多自由度有阻尼系统对简谐激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,因此系统对简谐激励的稳态响应可以表示为,5.8-10,则原广义坐标的稳态响应为,5.8-11,多自由度有阻尼系统对简谐激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,不难看出，当外激励频率与系统第r阶固有频率r值比较接近时，即r=/r1，这时第r阶正则坐标r(t)的稳态强迫振动的振幅值就会很大，这与单自由度系统的共振现象是完全类似的,2周期激励,如果系统各坐标上作用的外激励为具有同一周期的周期力，则可将各外力先按傅里叶级数展开，即,5.8-12,式中系数a0，aj和bj可用第三章3.2节给出的公式计算,有阻尼系统对一般周期激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,把外激励各简谐分量所引起的系统各稳态强迫振动解分别求出，然后将各解叠加起来，就得到系统在这种周期力作用下的响应,5.8-13,式中,5.8-14,5.8-15,5.8-16,有阻尼系统对一般周期激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,对于任意阶正则坐标响应r(t) (r=1,2,n)，是由各个不同频率的激励引起的响应叠加而成,因而，就一般周期性激励函数来说，产生共振的可能性要比简谐函数大的多。
所以很难预料各振型中哪一振型将受到激励的强烈影响,但是，当激励函数展成傅里叶级数之后，每一个激励频率j可以和每个固有频率r相比较，从而预先推测出强烈振动所在,有阻尼系统对一般周期激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,原坐标的稳态响应为,5.8-17,3任意激励,对于外力是一般任意随时间变化的激励，用振型叠加法也很容易求出各广义坐标的响应,有阻尼系统对一般周期激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,5.8-18,5.8-19,5.8-20,5.8-22,有阻尼系统对非周期一般激振的响应求解推导振型分析,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,例5.8-1 求图5.8-1所示的有阻尼弹簧质量系统的强迫振动的稳态响应,解：设q1和q2坐标如图5.8-1所示系统的振动微分方程为,其固有频率为,图 5.8-1,例题：受简谐激励稳态响应的求解（例5.8-1,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,正则振型矩阵为,令,则正则坐标的振动微分方程为,例题：受简谐激励稳态响应的求解（例5.8-1,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,解上面两个独立的微分方程得,例题：受简谐激励稳态响应的求解（例5.8-1,5.8 有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法,再变换回原坐标，即得系统的强迫振动稳态响应为,例题：受简谐激励稳态响应的求解（例5.8-1。