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1、4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)柯西-黎曼积分通常称为正常积分.它的特征是：积分区间是有限区间，而函数在这个区间上是有界函数(无界函数不可积).这一章中所讨论的积分称为反常积分，其中或者积分区间为有限区间而函数在该区间上是无界函数(称为奇异积分)，或者积分区间为无限区间(称为无穷积分).反常积分不像柯西-黎曼积分那样是作为积分和的极限，而是变上限或变下限积分作为函数时的极限.1.奇异积分 按照正常积分，函数在区间上不可积，因为它在区间上是无界函数(图4-30).可是对于任意正数，函数在区间上是可积的，而且有极限我们将把这个极限值称为函数在区间上的奇异积分，并记成 它在几何上表示由曲线、竖
2、直线和两个坐标轴围成的无界图形的面积(面积为单位平方).图4-31O bxy图4-30O 1 xy一般地，设函数在(左开右闭)区间上连续，而在点近旁无界这样的点就称为函数的奇点(图4-31).我们形式上就定义奇异积分为所谓“形式上”，是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的，则称奇异积分是收敛的；否则，就说它是发散的.在后一种情形下，仅是一个记号.例20 ，其中当时，182 / 19当时，当时， 综上所述：当时，奇异积分收敛；当时，奇异积分发散.【注】当时，是正常积分.计算正常积分的牛顿莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等，都可以转移到奇异积分上来.例如，若函数在区间上连续(是奇点)
3、，是它的一个原函数，则有其中. 而且，当有极限时，奇异积分收敛；当没有极限时，奇异积分发散.因此，例20就可以做成 (*)在扩充实数系中，规定.事实上，奇异积分与正常积分是相通的，因为有时奇异积分经过换元会变成正常积分，反过来也是如此.例如，(奇异积分)(正常积分)yxO a 图4-32b同样，若函数在(左闭右开)区间上连续且点是奇点(图4-32)，则也可形式上定义奇异积分而且它的收敛性也是根据右端是否有极限来确定.像例20那样，可以证明奇异积分当时收敛，而当时发散.积分的上下限可能同时都是被积函数的奇点，当奇异积分收敛时，就可以像正常积分那样去计算.例如,或,(偶函数的积分)或.(换元积分法
4、)函数的奇点也可能出现在积分区间的内部.譬如，若点是函数的奇点，而且函数在区间和上连续，则可形式上定义奇异积分请注意，只有当右端两个奇异积分都收敛时，才能说左端的奇异积分是收敛的.换句话说，只要右端至少有一个积分是发散的，则左端的积分就是发散的.因为奇异积分实际上是函数的极限，所以有下面的结论：若奇异积分和都收敛，则也收敛，且有(线性运算性质)若奇异积分和中有一个收敛，另一个发散，则必发散.但是请读者注意，若奇异积分和都发散时，则有可能收敛. 在许多理论问题中，只需要知道一个奇异积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，就需要下面的柯西判别法.
5、 柯西判别法 设函数在区间上连续(是奇点).若有某个正数和某个正数，使 (4-22)则奇异积分收敛；相反，若有某个和某个正数，使 (4-23)则奇异积分发散.证 当满足条件(4-22)时，则有于是，对于任意正数，根据积分单调性，有其中右端是与无关的正常数，即作为的函数有上界；又当时，函数是增大的，所以有极限(单调有界原理)因此，也有极限即奇异积分收敛.其次，当条件(4-23)满足时，函数不变号因为是连续函数，不妨认为.根据例20，则有即奇异积分发散.我们当然可以把上面的结论及其证明类比到上限是奇点的情形.作为习题，请你证明下面的柯西判别法：设函数在区间上连续(是奇点).若有某个正数和某个正数，
6、使则奇异积分收敛；相反，若有某个和某个正数，使则奇异积分发散.例21 研究奇异积分的敛散性.解 点和点都是奇点.为了研究它的敛散性，需要把它分成两个积分，使每一个积分只含有一个奇点，即（0是奇点） （1是奇点）在右端第一个积分中，因为根据柯西判别法，所以右端第一个积分收敛；在右端第二个积分中，因为 （注意上限是奇点）根据柯西判别法，所以右端第二个积分也收敛.因此，奇异积分收敛.2.无穷积分 在计算某些几何量或物理量时，有时会遇到无限区间上的“积分”，即，或，或它们都不是正常积分中那种积分和的极限，而是变上(下)限积分(看作函数时)的极限.例如图4-33中那个由曲线与轴和直线围成的无界图形的面积
7、，规定为极限(单位平方)是合理的. 图4-33b1OyxOqaa+rx图4-34再如放置在原点处带有正电量的点电荷，在它周围产生有静电场(图4-34).今有单位正电荷，它到原点的距离为，并在电场力的作用下移动的距离为时，电场力所做的功为因为通常把无穷远处的电位看作零，所以点处的电位是还有，当用换元积分法计算正常积分时，经过换元有时也会遇到无穷积分.例如， 因此，我们有必要来定义无穷积分.虽然这种积分不是用积分和的极限定义的正常积分，但是它与正常积分是相通的.设函数在区间上连续.形式上就定义无穷积分为所谓“形式上”，是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的，则称无穷积分是收敛的；否则，就
8、说它是发散的.在后一种情形下，仅是一个记号. 类似地，也可形式上定义无穷积分和并且规定：是收敛的，当且仅当和都是收敛的.请读者注意，不能把其中的无穷积分理解为极限因为右端极限存在时，而左端的无穷积分有可能不收敛.例如，但不收敛.例22 注意，其中是根据洛必达法则.计算正常积分的牛顿莱布尼茨公式，也可以转移到无穷积分上来.若函数在区间上连续，为它的一个原函数，则其中记号.若有极限，则无穷积分是收敛的；否则，它就是发散的.因此，例22就可以直接做成其中原函数在上限的值当然是指它在无穷远处的极限.类似地，像下面这样的演算也是合法的，即 或（偶函数的积分）正常积分中的换元积分法和分部积分法，也可以转移
9、到无穷积分上来.例如，若函数和都有连续导数，则有因此，例22也可以做成例23 在含参数的无穷积分中， 若，则；若，则因此，当时，它收敛；当时，它发散.因为无穷积分实际上也是函数的极限，根据函数极限的运算性质，所以有下面的结论： 若无穷积分和都收敛，则也收敛，且有(线性运算性质) 若无穷积分和中有一个收敛，另一个发散，则必发散.但是请读者注意，若无穷积分和都发散时，则有可能收敛.在许多理论问题中，只需要知道一个无穷积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，像奇异积分那样，就需要下面的柯西判别法.柯西判别法 设函数在区间上连续.若有某个正数和某个正
10、数，使 (4-24)则无穷积分收敛；相反，若有某个正数和某个正数，使 (4-25)则无穷积分发散.证 当满足条件(4-24)时，有 于是，对于，根据积分单调性，有(常数)即作为上限的函数有上界；又当时，函数是增大的(因为被积函数是非负的)，所以有极限(单调有界原理)因此，也有极限【因为右端两个积分都是收敛的】即无穷积分收敛.其次，当条件(4-25)满足时，函数不变号，不妨认为.于是有（例23）即无穷积分发散.yxy=O图4-35例24 研究积分的收敛性.解 见图4-35，在概率论中称函数为标准正态分布的密度函数.为了讨论无穷积分的收敛性，需把它分成两个积分，即在右端第二个积分中，根据不等式，则
11、有，所以因此，对于任意，有注意到积分关于上限是单调增大的，根据函数极限的单调有界原理，必有极限即收敛.又积分所以也收敛.因此，收敛.因为概率论中用到无穷积分，所以称它为概率积分(历史上称它为欧拉泊松积分).在节后的附录中，进一步证明了.【注】概率论中用到的是下面的结论.设函数在任意有限区间上可积分，且无穷积分对任意都收敛，则在概率论中就用定义连续型随机变量的分布函数.等读者学习到5-1时，就能够像正常积分那样证明：函数是连续函数；若在点是连续的，则在点可微分且.3.绝对收敛和条件收敛 在正常积分中，若函数在上可积，则在上也可积(相反的结论不成立).可是在反常积分中，结论恰好相反.譬如在奇异积分
12、中，若收敛（*） 有时称函数在上绝对可积。注意，“绝对可积”的称呼是专门用于反常积分的！，则也收敛(相反的结论不成立).这个结论的证明与柯西判别法的证明是一样的.事实上，不妨设为函数的奇点.因为，所以作为的函数当时单调增大有上界，因此有极限从而也有极限即收敛.若收敛，从而也收敛，则称的收敛性为绝对收敛；而若收敛，但发散，则称的收敛性为条件收敛.同样，对于无穷积分来说，若收敛，则也收敛，在这种情形下，就说是绝对收敛的.若收敛，但发散，就说是条件收敛的.作为条件收敛的一个例子，我们考虑著名积分(狄利克雷积分)首先证明它是收敛性.为此，先把它分成两个积分，即(正常积分) 这样，只要证明无穷积分收敛就
13、行了.事实上，对于任意实数，则于是,其中积分是收敛的因为，用柯西判别法.因此，积分也是收敛的，即也是收敛的.积分的收敛性是因为函数的周期性变化，在轴以上的正面积与在轴以下的负面积，有一部分相抵消了(见图4-36).在本书第二篇(6-3)中将证明xyO1图4-36其次，为证积分是发散的，同样因为 (正常积分)所以只要证明是发散的就行了.事实上，对于，则因为有极限 （收敛，用柯西判别法）所以即发散.因此，也发散.无穷积分发散表示上图4-36中阴影部分“面积”的总和为.除此以外，像 和 这样的无穷积分，也都是条件收敛的.习题1.根据定义或用适当的积分法(包括使用牛顿莱布尼茨公式)，研究下列奇异积分或无穷积分的敛散性(收敛时,并求出积分值):； ； ； ； .答案：发散；收敛，积分值为；收敛，积分值为；.2.证明：奇异积分 (是奇点) 和 (是奇点)都收敛（提示：分部积分），而且3.研究下列无穷积分的敛散性：； .答案：收敛；发散.4.设多项式和不含公因式，且分母的次数比分子的次数至少大1.证明：无穷积分和（其中为常数）都收敛.(提示:：分部积分)5.证明：.（注意，点是被积函数
