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1、第二节 对坐标的曲线积分一、 概念与性质基本问题：怎样计算变力对沿某曲线运动的质点所作的功？定义：设 为一条从点 到点 的平面有向光滑曲LAB线，函数 在 上有界。yxQP,L1）分割：在 上沿 的方向任意插入 个点1n221 , yxMyxyxM把 分成 个有向小弧段Ln（ ） 。ii1 BAnn,;,02）作乘积： 设 ，点 为11iiiiii yxii,上任意一点。作乘积iiM1 iiii yQ,x,P3）求和： ，iniixP1,inii,Q14）取极限： 设各小弧段的最大长度为 ，如果当时， ， 的极限总存在，则称0iniix1,iniix,1此极限为函数 在有向曲线 上的第二型曲线
2、yQP, L积分，记为 ， 即LdxLdni iixPy10,lm, ni iiL yQdxQ10,l,变力 所作的功为 。FdyxQyxPL,注 1：对坐标的曲线积分可推广到空间中去。注 2：设 A ,dr ，则yx,yx,LL ddPrA注 3：第二类曲线积分，与积分路径 的方向选取有关，若用 表示与积分曲线 选取的方向相反的曲线，则有LdyxQyxPL, dyxQyxPL,二、第二型曲线积分的计算方法若有向曲线 的参数方程为 ，且起点 对应的参tyxA数为 ，终点 对应的参数为 ，则B10011,lim,lim,nni iiiiLPxydPxPat利用拉格朗日中值定理在 之间存在一点 使
3、得,iti，因此iii tt1 01,lim,niiiLPxydPat因为对任意的 此极限都是唯一的，所以无妨把 都i, ia换成 ，即ini iiiL tPdxyP10,lm, dtt,类似讨论得 LdyxQ,tt,注 4：起点对应的参数值为下限，终点对应的参数值为上限。例 1：求 ，其中 是从点 到CdyxyxI22 C0,A再到 的折线。4,B3,解：线段 的参数方程为： ， 从 0 变到 1；Atytx4,线段 的参数方程为： ，C1从 0 变到 1。 BCABC dyxyxdyxyxI 2222ttttttt 1010 1414472625d例 2： 为椭圆L dzxyzxdyzI
4、L212zyx且从 轴正方向看去， 顺时针。L解：曲线 的参数方程为：，cosin2,sin,cozyx从 变到 0。2 02 sincosincosin2cossinco dI。1102 dii点评：在计算第二类曲线积分题时，积分路径不能用同一个参数方程表示时，则可把积分路径分解成若干段来处理，如例 1。第二型曲线积分转化成定积分时，下限为起点对应的参数值，上限为终点对应的参数值，所以上限有时可能比下xyxyABC限小，如例 2。例 3：计算 LdyxdxyI 23231） 为从 经点 到 的0,O1,A0,B有向折线；2） 沿园 从 顺时针转到Lxy22,点 。0,B解：1）线段 的参数方
5、程为： ， 从 0 变到 1。OAtyx,线段 的参数方程为： ， 从 0 变到 1。t1, ABOA dyxdxydyxdxyI 232323231010 14 tttttt422）曲线 的参数方程为： ， 从 变L 2sin,cos2yx到 ，0 2 24 2cossinco4sincos8 dI 0230253 sini16ii16 d4例 4：计算 LdyxdxyI221) 为从点 到点 的线段；L0,O,B2） 为从点 经点 到点02A2,B的折线；xOBAxyOBA3） 沿抛物线 从 到点 。L21xy0,O2,B解：1）线段 的参数方程为： ， 从 0 变到 1，Btytx,38
6、10222 ddyxIL2）线段 的参数方程为： ， 从 0 变到 2，线OA,x段 的参数方程为： ， 从 0 变到 2，Byx,2319482022 dydydxyIL3）曲线 的参数方程为： ， 从 到 ，21,xyx0220 343211dxI59868点评：第二类曲线积分，不但与起点和终点有关，而且还与积分路径有关；如例 4。但我们从例 3 中也看到起点和终点一致，积分路径不同但计算结果相同。这样就很自然地引出一个问题：在什么条件下第二类曲线积分与路径无关，此问题由英国数学家格林于 1825 年解决，即所谓的格林公式。例 5：已知变力 ，问将质点从原点沿直线移kjiFxyz动到曲面
7、的第一卦限部分上哪一点做功最大？122cbyax并求出最大功。(2001 年期末考题)解：设 是椭球面上在第一卦限内的点，则质点从00,zyxP原点移到点 力 所作的功为FOPxydzzydW线段 的参数方程为： ， 从 0 变到 1，OPtztytx000,123zyxdxdzzydWOP因为点 在椭球面上，所以 ，解条件00,zx 12020cbya极值，即解方程组 12220002czbyaxzx得 ，所以取点 时做功3,3000zbyax 3,cba最大，最大功为 。ac9三、两类曲线积分的联系若有向曲线 的参数方程为 ，且起点 对应的参数LtyxA为 ，终点 对应的参数为 ，则B2222cosLLPdxQyPtQtdtdsttPds 其中 是曲线 沿从 到 的方向的切线的方向余,LAB弦。对空间曲线也有类似公式。
