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1、第二节 对坐标的曲线积分一、 概念与性质基本问题:怎样计算变力对沿某曲线运动的质点所作的功?定义:设 为一条从点 到点 的平面有向光滑曲LAB线,函数 在 上有界。yxQP,L1)分割:在 上沿 的方向任意插入 个点1n221 , yxMyxyxM把 分成 个有向小弧段Ln( ) 。ii1 BAnn,;,02)作乘积: 设 ,点 为11iiiiii yxii,上任意一点。作乘积iiM1 iiii yQ,x,P3)求和: ,iniixP1,inii,Q14)取极限: 设各小弧段的最大长度为 ,如果当时, , 的极限总存在,则称0iniix1,iniix,1此极限为函数 在有向曲线 上的第二型曲线
2、yQP, L积分,记为 , 即LdxLdni iixPy10,lm, ni iiL yQdxQ10,l,变力 所作的功为 。FdyxQyxPL,注 1:对坐标的曲线积分可推广到空间中去。注 2:设 A ,dr ,则yx,yx,LL ddPrA注 3:第二类曲线积分,与积分路径 的方向选取有关,若用 表示与积分曲线 选取的方向相反的曲线,则有LdyxQyxPL, dyxQyxPL,二、第二型曲线积分的计算方法若有向曲线 的参数方程为 ,且起点 对应的参tyxA数为 ,终点 对应的参数为 ,则B10011,lim,lim,nni iiiiLPxydPxPat利用拉格朗日中值定理在 之间存在一点 使
3、得,iti,因此iii tt1 01,lim,niiiLPxydPat因为对任意的 此极限都是唯一的,所以无妨把 都i, ia换成 ,即ini iiiL tPdxyP10,lm, dtt,类似讨论得 LdyxQ,tt,注 4:起点对应的参数值为下限,终点对应的参数值为上限。例 1:求 ,其中 是从点 到CdyxyxI22 C0,A再到 的折线。4,B3,解:线段 的参数方程为: , 从 0 变到 1;Atytx4,线段 的参数方程为: ,C1从 0 变到 1。 BCABC dyxyxdyxyxI 2222ttttttt 1010 1414472625d例 2: 为椭圆L dzxyzxdyzI
4、L212zyx且从 轴正方向看去, 顺时针。L解:曲线 的参数方程为:,cosin2,sin,cozyx从 变到 0。2 02 sincosincosin2cossinco dI。1102 dii点评:在计算第二类曲线积分题时,积分路径不能用同一个参数方程表示时,则可把积分路径分解成若干段来处理,如例 1。第二型曲线积分转化成定积分时,下限为起点对应的参数值,上限为终点对应的参数值,所以上限有时可能比下xyxyABC限小,如例 2。例 3:计算 LdyxdxyI 23231) 为从 经点 到 的0,O1,A0,B有向折线;2) 沿园 从 顺时针转到Lxy22,点 。0,B解:1)线段 的参数方
5、程为: , 从 0 变到 1。OAtyx,线段 的参数方程为: , 从 0 变到 1。t1, ABOA dyxdxydyxdxyI 232323231010 14 tttttt422)曲线 的参数方程为: , 从 变L 2sin,cos2yx到 ,0 2 24 2cossinco4sincos8 dI 0230253 sini16ii16 d4例 4:计算 LdyxdxyI221) 为从点 到点 的线段;L0,O,B2) 为从点 经点 到点02A2,B的折线;xOBAxyOBA3) 沿抛物线 从 到点 。L21xy0,O2,B解:1)线段 的参数方程为: , 从 0 变到 1,Btytx,38
6、10222 ddyxIL2)线段 的参数方程为: , 从 0 变到 2,线OA,x段 的参数方程为: , 从 0 变到 2,Byx,2319482022 dydydxyIL3)曲线 的参数方程为: , 从 到 ,21,xyx0220 343211dxI59868点评:第二类曲线积分,不但与起点和终点有关,而且还与积分路径有关;如例 4。但我们从例 3 中也看到起点和终点一致,积分路径不同但计算结果相同。这样就很自然地引出一个问题:在什么条件下第二类曲线积分与路径无关,此问题由英国数学家格林于 1825 年解决,即所谓的格林公式。例 5:已知变力 ,问将质点从原点沿直线移kjiFxyz动到曲面
7、的第一卦限部分上哪一点做功最大?122cbyax并求出最大功。(2001 年期末考题)解:设 是椭球面上在第一卦限内的点,则质点从00,zyxP原点移到点 力 所作的功为FOPxydzzydW线段 的参数方程为: , 从 0 变到 1,OPtztytx000,123zyxdxdzzydWOP因为点 在椭球面上,所以 ,解条件00,zx 12020cbya极值,即解方程组 12220002czbyaxzx得 ,所以取点 时做功3,3000zbyax 3,cba最大,最大功为 。ac9三、两类曲线积分的联系若有向曲线 的参数方程为 ,且起点 对应的参数LtyxA为 ,终点 对应的参数为 ,则B2222cosLLPdxQyPtQtdtdsttPds 其中 是曲线 沿从 到 的方向的切线的方向余,LAB弦。对空间曲线也有类似公式。