《《空间向量共面充要条件的应用》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《空间向量共面充要条件的应用》（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间向量共面充要条件的应用共面向量定理涉及三个向量 p、a、b共面问题，它们之间的充要条件关系为：如果两 个向量a、 b共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在有序实数组(x,y),使得 P= xa+ yb.共面向量定理在立体几何中证明中有关有着广泛的运用，如在点线共面、线面平行等问题中，都有很好的体现.由于向量本身具有的位置不定性，使得共面向量可理解为能够平移到同一平面内的向量，或者理解为平行于同一平面的向量.下面就空间向量共面充要条件的应用分类解析，体会应用的方法与技巧.一、判断点与平面的关系例1 已知A、B、C三点不共线，对平面 ABC外一点。，若OM = 2OA OB 6C
2、, 判断点M是否在平面ABC内.分析：点M与A、B、C不共面，即点M不在平面 ABC内，即不存在x, y使AM = xAB + yAC,可用反证法证明判断.解：假设M在平面ABC内，则存在实数 x,y,使aM = xAB + yAC ,于是对空间任意一点 。，。在平面ABC夕卜，6M = (1 x y)6A + xOB + y6C,1 - x y= 2比较原式可得 x = 1,此方程组无解，与假设不成立，I y = 1不存在实数x,y，使AM = xAB + yAC , . .M与A、B、C不共面.点评：本题采用反证法来证明点 M不在平面ABC内，因为反证法就是从正面进行解答 比较困难，从对立
3、面进行证明的一种思想方法二、用于证明四点共面例2 如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且ANNC = 2 1,求证：A1、B、N、M四点共面.分析：利用空间向量共面的充要条件，通过证明向量篇N、A1B、A1M共面，即可证明 存在唯一实数入、，使篇N =忒B + A M成立.证明：如图，AA1=a, ab=房ad=戒则a1b=abaa=日孑,M 为 DDi 的中点， 篇M = AD 2&Ai= C ：M,AN NC = 2 1 ,2 22-AN = AC = (AB + AD) = (b + c)一 一 一 2 一一一 2一 一 2 一1一AiN = AN
4、 AAi= 一 (b + C) a = 一( b 一苟 + 一 (c 一一苟3 33222= AiB+ AiM,.Ai、B、N、M四点共面.点评：本题根据空间向量基本定理， 充分利用三角法则与平行四边形法则， 通过不同的 途径分别用向量 岸 昂表示MQ或用向量 民表示Mq，从而建立向量EG与向量 岸EH的线性 关系，进而使问题得证.这是不用向量坐标形式证明几何问题的常用方法 三、证明三线平行同一平面例3 如图所示，E、F分别为空间四边形 ABCD中AB、CD的中点，证明 AD、EF、BC平行于同一平面.aD、bC之间存在线段关系.分析：证明AD、EF、BC平行于同一平面，即证明向量EF、AD、
5、BC共面，进而证明EF、证明：EF = EA + AD + DF,且 EF = eB + bC + CF,又 eA = eB , dF = cF ,所以ef+岸=ad + bcT i T r i T i即 EF + EF = 2(AD + BC) = 2AD + ?BC ,可知，EF、AD、bC共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面.点评：本题在证明过程中，通过利用两种不同的途径得到向量EF的两种不同的表达式,然后两式相加就可以得到所需要证明的表达式，当然其过程要用到三角形法则或平行四边形法则，这是利用加减法处理向量线性线性关系常用的方法四、证明线面平行例4 正方体 ABCD AiBiCiD
6、i中，点 N在BD上，点 M在BiC上，且 CM = DN , 求证：MN/平面CCiDiD.分析：由于DC与DDi在同一平面上，因此可以先考虑利用空间向量共面的充要条件证明向量NM与无、DD1共面，然后只须说明点M、N不在CC iDiD内就可证明MN /平面CCiDiD.证明：设CM = DN =入DB =入CBi,则DN =入DB =入(DA + DC), CM =入CB=入(CB + CC)，. NM = ND + DC + CM = 一入(DA + DC) + DC + 入(CB + CC)=(i Z) DC + 入(DA + CB + CC i) = (i 入)DC + 入(一DA + DA + CC i)=(i z) dC + add i. nM与dc、DD共面，又 M、N 不在面 DCCiDi 内，. .MN / 平面CCiDiD.点评：利用空间证明立体几何问题，减少了利用传统法证明的繁琐的思维量，将考查难 度要求较高的空间想象力与抽象的逻辑推理能力转化为考查难度要求稍微较低的运算能力Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！
