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1、点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚(邮政编码 530007)圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它 的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、 中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式 作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法 为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗 浅的探讨，以飨读者。2 X定理在双曲线na2二 1
2、 ( a 0, b 0)中，若直线l与双曲线相交于 M、N两点，点 b2P(X0,y)是弦mn的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMyX0b2 .a证明：设M、N两点的坐标分别为(xi,yi)、(X2, y2),则有2 X1 -2 a2 X2 2 a2 y2 y21,1.(1)(2)2 -X1(1) (2)，得2X2 2 a22yy20.y2yX2X1y2yX2X1b22 . a又 kMNy2 yX2X1y y2XiX22 y0 2X0y()X0kMN Xb22 . a同理可证，在双曲线2y2a(a 0, b 0)中，若直线l与双曲线相交于M、N两点,点P(X0, y)是弦MN的中点
3、，弦MN所在的直线l的斜率为kMN,y0则kMNX02 a_ 检.2例1已知双曲线C : y2 3典题妙解1,过点P(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点.(1) 求弦AB的中点M的轨迹；(2) 若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程.解：(1) a21,b23,焦点在y轴上.设点M的坐标为(x,y)，由kAB 2a /曰2 碍:b2整理得：x2 3y2 2x3y0.2所求的轨迹方程为x3y22x3y0.(2)P恰为弦AB的中点,. V。由kABx。2a2 得：kABbAB直线l的方程为y 13(x2x 3y0.已知双曲线C：2x22 与点 P(1,2).k的取值范围;(1)斜率为k且过点P的
4、直线l与C有两个公共点，求(2) 是否存在过点 P的弦AB，使得AB的中点为P?(3) 试判断以Q(1,1)为中点的弦是否存在.解：(1)直线l的方程为y 2 k(x 1),即ykx2 k.V kx 2 k, 222由 2 222 得(k22)x22(k22k)xk24k60.2 0, 4(k2 2k)2 4(k2 2)( k2 4k 6)0.k的取值范围是(2)(.2,、2)(2,2).(2)双曲线的标准方程为2匕1,21,b22.设存在过点P的弦AB ,使得AB的中点为P,则由kABb2-y 得：k 2 2, k 1.a直线l与C有两个公共点,k2得解之得:由(1)可知，k 1时，直线l与
5、C有两个公共点,存在这样的弦.这时直线l的方程为y x 1.(3)设以Q(1,1)为中点的弦存在，则由kAB史xb2二得：k 1 2, k 2.a由(1)可知，k 2时，直线l与C没有两个公共点,设以Q(1,1)为中点的弦不存在.例3过点M ( 2,0)作直线l交双曲线C ： x2y21于A、B两点，已知OP OA OB (O为坐标原点)，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：在双曲线C : x2 y2221中，a b 1 ,焦点在x轴上.设弦AB的中点为Q .OP OA OB,由平行四边形法则知：OP2OQ，即Q是线段OP的中点.设点P的坐标为(x, y),则点Q的坐标为 -,2 2yy
6、21,由kAB 2 %得：工y工里2 22整理得：x2 y2 4x 0.配方得：(x 2) 匕 1.44点P的轨迹方程是(x 2)241，它是中心为 (2,0),对称轴分别为x轴和直线x 2。的双曲线例4.设双曲线C的中心在原点，以抛物线y22j3x 4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.(I )试求双曲线 C的方程;(H)设直线l : y 2x 1与双曲线C交于A,B两点，求 AB(川)对于直线l : y kx 1 ,是否存在这样的实数 k，使直线l与双曲线C的交点A,B关于直 线l : y ax 4 (a为常数)对称，若存在，求出 k值；若不存在，请说明理由.解：(I)由
7、y2 2后x 4得y2 2庙(x 车)，3pJ3,抛物线的顶点是（*,0）,准线是x323 2.3在双曲线C2出C 3,中，艾1c 2饵.3b21.双曲线2C的方程为3x2y(n)由 23x22x 1,22 得：x 4x 2 y2 1.0.设 A(x,V1),Bg,y2)，则 XX24,xg2.、2x2)4x1x2 ,(1 22)( 4)2 4 22. 10.（m）假设存在这样的实数 k，使直线l与双曲线C的交点A, B关于直线 l对称，则l是线段AB1 的垂直平分线.因而a -,从而k1x 4 .设线段AB的中点为 kP(x0,y)由kAB当得：kayx3,ky 3x0.由yx0 4 得:k
8、yoXo4k.由、得:xk, y由y。kxo1 得：3 k22.又由3x2y2 1y , 得：(k2 y kx 1.3)x22kx2 0.直线l与双曲线C相交于A、B两点,3.4k2 8(k2 3) 0,即 k2 6,且 k2符合题意的k的值存在，kJ2.金指点睛1. （03全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（J7,0）,直线y x 1与其相交于M、N两点,MN的中点的横坐标为,则此双曲线的方程为（32 x A.32 x B.4C.2 x D.22. (02江苏)设A、B是双曲线2y21上两点，点N(1,2)是线段AB的中点.(1) 求直线AB的方程;(2) 如果线段为什么？AB的垂直平
9、分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆,2y3(1)求弦AB的中点M3.已知双曲线， 11,过点p(,2的轨迹；3)作直线l交双曲线于A、B两点.2(2)若点P恰好是弦AB的中点，求直线l的方程和弦AB的长.4、双曲线C的中心在原点,2x并以椭圆252匕 1的焦点为焦点，以抛物线y22j3x的准线为13右准线.(1)求双曲线C的方程;(2)设直线l :y kx 3( k 0)与双曲线C相交于A、B两点，使A、 B两点关于直线mx6( m 0)对称，求k的值.参考答案i.解：在直线由kMNyoXob2F得15323b22 .a又由 a22a52 b2故答案选D.22.解：(
10、1) a所求的直线得a22,b25.1,b22,焦点在x上.由kABYox。得:kAB 22,kAB 1 .AB方程为1 (x 1),即 x y1 0.(2)设直线CD的方程为m 0,点N(1,2)在直线CD上,3.直线CD的方程为x0.又设弦CD的中点为M (x, y)，由kCD -x匕得:a3, y 6.的坐标为(3,6).x y 1又由2 y2x20,得A(1.1,0),B(3,4).由两点间的距离公式可知:|MA| |MB |MC | |MD |2.10 .故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即 A、B、C、D四点共圆.3.解：(1) a2 1,b23,焦点在X上.设点M的坐标为(x
11、,y).若直线1的的斜率不存在，则 率存在.l x轴,这时直线l与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l的的斜由 kAB yx旦得:a3y 21 x2整理，得:6x2 2y2 3x3y 02点M的轨迹方程为6x2y23x 3y0.(2)由 kABb22 a得:32123,kAB 1.所求的直线l方程为(x1 出,),即 y x 1.22y_3x 1.解之得:x2,x2|AB|1 k2| x2x |3 2.2,x4.解：（1）在椭圆一2521 中，a 5,b J13,c Va2 b22j3,13焦点为 Fi( 2、.3,0), F2(2,3,0).2在抛物线y2焰x中，pV3,准线为3 x.22在双曲线中，c3.从而a2.3,b3.所求双曲线C、一x2的万程为 -32七1.9(2)直线l是弦AB的垂直平分线，1m -k,从而l : y1x 6 .设弦AB的中点为 k3,3，即 k21.1 得(k2 3)x2P* y(J.由kABy_x。b22 a
